Cours
Géométrie du plan — Géométrie de l’espace
Plan
1 Géométrie du plan
1.1 Généralités sur les vecteurs
1.2 Produit scalaire
1.3 Déterminant de deux vecteurs
1.4 Droites
2 Géométrie de l’espace
2.1 Quelques rappels
2.2 Généralités sur les vecteurs
2.3 Produit scalaire
2.4 Produit vectoriel
2.5 Plans
2.6 Droites
2.7 Distance d’un point à un plan, distance d’un point à une droite
Objectifs
Géométrie du plan
Généralités
Vocabulaire vectoriel
Connaître le vocabulaire : vecteurs colinéaires, combinaison linéaire de vecteurs, base du plan, repère du plan …
Connaître · Généralités sur les vecteurs, Repère cartésien et calculs, Colinéarité, Base, Repère cartésien
Coordonnées et norme
Savoir calculer les coordonnées d’un milieu d’un segment, les coordonnées d’un vecteur, la norme d’un vecteur …
Calculer · Calculs de coordonnées, Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
Produit scalaire
Définition et propriétés
Connaître la définition et les propriétés du produit scalaire.
Connaître · Définition et propriétés
Mesure d’un angle
Savoir déterminer une mesure d’un angle entre deux vecteurs à l’aide du produit scalaire.
Déterminer · Produit scalaire
Expression dans une base orthonormale
Savoir exprimer le produit scalaire de deux vecteurs dans une base orthonormale du plan.
Exprimer · Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
Orthogonalité de deux vecteurs
Étudier si deux vecteurs sont orthogonaux.
étudier · Orthogonalité
Déterminant
Définition et propriétés
Connaître la définition et les propriétés du déterminant.
Connaître · Déterminant de deux vecteurs
Aire d’un parallélogramme
Savoir déterminer l’aire d’un parallélogramme.
Déterminer · Aire d’un parallélogramme
Expression dans une base directe
Savoir exprimer le déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormale directe du plan.
Exprimer · Expression du déterminant dans une base orthonormale directe
Colinéarité de deux vecteurs
Étudier si deux vecteurs sont colinéaires.
étudier · Colinéarité par le déterminant
Droites
Définition d’une droite
Savoir définir une droite.
Définir · Représentation paramétrique d’une droite
Vecteurs directeur et normal
Savoir déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal à une droite.
Déterminer · Représentation paramétrique d’une droite, Vecteur normal d’une droite
Équation cartésienne d’une droite
Reconnaître et savoir déterminer une équation cartésienne d’une droite.
Reconnaître, déterminer · Équation cartésienne d’une droite
Représentation paramétrique d’une droite
Reconnaître et savoir déterminer une représentation paramétrique d’une droite.
Reconnaître, déterminer · Représentation paramétrique d’une droite
Représentation d’une droite
Savoir représenter une droite à partir d’une équation cartésienne ou d’une représentation paramétrique.
Représenter · Droites du plan
Conversion entre représentations
Savoir passer d’une équation cartésienne à une représentation paramétrique et inversement.
Intersection de deux droites
Savoir étudier l’intersection de deux droites.
Projection et distance à une droite
Savoir calculer les coordonnées d’un projeté orthogonal d’un point sur une droite et la distance d’un point à une droite.
Calculer · Produit scalaire et projeté, Distance d’un point à une droite
Géométrie de l’espace
Généralités
Vocabulaire vectoriel
Connaître le vocabulaire : vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires, combinaison linéaire de vecteurs, base de l’espace, repère de l’espace …
Connaître · Généralités sur les vecteurs, Coplanarité, Base, Repère cartésien
Coordonnées et norme
Savoir calculer les coordonnées d’un milieu d’un segment, les coordonnées d’un vecteur, la norme d’un vecteur …
Calculer · Calculs de coordonnées, Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
Colinéarité et coplanarité
Savoir étudier si deux vecteurs sont colinéaires, si trois vecteurs sont coplanaires.
étudier · Vecteurs coplanaires, Colinéarité
Produit scalaire
Définition et propriétés
Connaître la définition et les propriétés du produit scalaire.
Connaître · Produit scalaire
Mesure d’un angle
Savoir déterminer une mesure d’un angle entre deux vecteurs à l’aide du produit scalaire.
Déterminer · Extension du produit scalaire à l’espace
Expression dans une base orthonormale
Savoir exprimer le produit scalaire de deux vecteurs dans une base orthonormale de l’espace.
Exprimer · Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
Orthogonalité de deux vecteurs
Étudier si deux vecteurs sont orthogonaux.
étudier
Produit vectoriel
Définition et propriétés
Connaître la définition et les propriétés du produit vectoriel.
Connaître · Produit vectoriel
Plan
Définition d’un plan
Savoir définir un plan.
Définir · Représentation paramétrique d’un plan
Vecteurs directeurs d’un plan
Savoir déterminer deux vecteurs directeurs non colinéaires d’un plan.
Déterminer · Représentation paramétrique d’un plan
Vecteur normal d’un plan
Savoir déterminer un vecteur normal à un plan.
Déterminer · Vecteur normal d’un plan
Équation cartésienne d’un plan
Reconnaître et savoir déterminer une équation cartésienne d’un plan.
Reconnaître, déterminer · Équation cartésienne d’un plan
Représentation paramétrique d’un plan
Reconnaître et savoir déterminer une représentation paramétrique d’un plan.
Reconnaître, déterminer · Représentation paramétrique d’un plan
Conversion entre représentations
Savoir passer d’une équation cartésienne à une représentation paramétrique et inversement.
Intersection de deux plans
Savoir étudier l’intersection de deux plans.
étudier · Intersection de deux plans, Exercice
Projection et distance à un plan
Savoir calculer les coordonnées d’un projeté orthogonal d’un point sur un plan et la distance d’un point à un plan.
Calculer · Projection orthogonale d’un point sur un plan, Distance d’un point à un plan, Exercice
Droites
Définition d’une droite
Savoir définir une droite.
Définir · Représentation paramétrique d’une droite de l’espace
Vecteur directeur d’une droite
Savoir déterminer un vecteur directeur à une droite.
Déterminer · Représentation paramétrique d’une droite de l’espace
Représentation paramétrique d’une droite
Savoir déterminer une représentation paramétrique d’une droite.
Déterminer · Représentation paramétrique d’une droite de l’espace
Système cartésien d’une droite
Savoir déterminer un système d’équations cartésiennes d’une droite.
Déterminer · Système d’équations cartésiennes d’une droite
Conversion entre représentations
Savoir passer d’un système d’équations cartésiennes à une représentation paramétrique et inversement.
Convertir · Exercice
Intersections de droites et de plans
Savoir étudier l’intersection de deux droites, l’intersection d’une droite et d’un plan.
étudier · Positions relatives de deux droites, Positions relatives d’une droite et d’un plan
Projection et distance à une droite
Savoir calculer les coordonnées d’un projeté orthogonal d’un point sur une droite et la distance d’un point à une droite.
Calculer · Projection orthogonale d’un point sur une droite, Distance d’un point à une droite de l’espace, Exercice