Module

Déterminant de deux vecteurs

Domaine: Géométrie du plan
Prérequis: Vecteurs du plan

Déterminant de deux vecteurs

Définition Déterminant de deux vecteurs

Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non nuls du plan. Le déterminant de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel, noté \([\vec u,\vec v]\), défini par :

\[[\vec u,\vec v]=\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert\times\sin(\widehat{(\vec u,\vec v)})\]

Remarque Vecteur nul

Si l’un des deux vecteurs est nul, alors \([\vec u,\vec v]=0\).

Théorème Colinéarité par le déterminant

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement si \([\vec u,\vec v]=0\).

Corollaire Alignement par le déterminant

Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \([\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=0\).

Corollaire Aire d’un parallélogramme

Soit \(ABDC\) un parallélogramme. Son aire est égale à \(\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\right|\).

Figure Aire du parallélogramme

Figure associée au bloc pédagogique.

Corollaire Aire d’un triangle

Soit \(ABC\) un triangle. Son aire est égale à \(\frac12\times\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\right|\).

Propriété Expression du déterminant dans une base orthonormale directe

Dans une base orthonormée directe \(\left(\vec i,\vec j\right)\), si \(\vec u=x\vec i+y\vec j\) et \(\vec v=x'\vec i+y'\vec j\), alors \([\vec u,\vec v]=xy'-x'y\).

Notation Écriture matricielle du déterminant

\[[\vec u,\vec v]=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=xy'-x'y\]

Propriété Bilinéarité du déterminant

\[[\vec u,\lambda\vec v+\mu\vec w]=\lambda[\vec u,\vec v]+\mu[\vec u,\vec w]\]

\[[\lambda\vec u+\mu\vec v,\vec w]=\lambda[\vec u,\vec w]+\mu[\vec v,\vec w]\]

\[[\vec u,\vec v]=-[\vec v,\vec u]\]