Module
Projection orthogonale sur une droite
- Domaine
- Géométrie du plan
- Prérequis
- Produit scalaire du plan
Projection et produit scalaire
Définition Projection orthogonale
Soit \((D)\) une droite du plan. Pour tout point \(A\) du plan, il existe un unique point \(A'\) de \((D)\) tel que l’on ait \((AA')\perp(D)\). Ce point \(A'\) est appelé le projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\).
Figure Projection orthogonale
Figure associée à la définition du projeté orthogonal.
Propriété Point le plus proche
Le projeté orthogonal \(A'\) est le point de \((D)\) le plus proche de \(A\).
Définition Distance d’un point à une droite
La distance \(AA'\) est appelée distance de \(A\) à la droite \((D)\) et se note \(d(A,(D))\).
Propriété Produit scalaire et projeté
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\). Alors \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\).
Figure Projection orthogonale de \(C\) sur \([AB]\)
Figure associée à la propriété du produit scalaire et du projeté orthogonal.
Remarques Remarques
Remarque Signe positif
Lorsque \(H\) est situé entre \(A\) et \(B\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) ont la même direction et le même sens. La propriété donne alors :
Figure Projection avec \(H\) entre \(A\) et \(B\)
Figure du premier cas de signe.
Remarque Signe négatif
Lorsque \(H\) est situé du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont de sens opposés. La propriété donne alors :
Figure Projection avec \(H\) hors du segment \([AB]\)
Figure du second cas de signe.