Module

Vecteurs de l’espace

Domaine: Géométrie de l’espace
Prérequis: Vecteurs du plan

Généralités sur les vecteurs

Définition Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) de l’espace sont coplanaires si l’un d’entre eux est combinaison linéaire des deux autres.

Définition Famille libre de deux vecteurs

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) de l’espace non colinéaires forment une famille libre, c’est-à-dire :

\[\forall(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2,\quad\lambda_1\vec u+\lambda_2\vec v=\vec0\Longrightarrow\lambda_1=\lambda_2=0\]

Définition Famille libre de trois vecteurs

Trois vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) de l’espace non coplanaires forment une famille libre, c’est-à-dire :

\[\forall(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\in\mathbb R^3,\quad\lambda_1\vec u+\lambda_2\vec v+\lambda_3\vec w=\vec0\Longrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\]

Définition Base de l’espace

Trois vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) de l’espace forment une base de l’espace s’ils sont non coplanaires.

Propriété Coordonnées dans une base de l’espace

Soit \((\vec u,\vec v,\vec w)\) une base de l’espace. Tout vecteur \(\vec t\) de l’espace s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\), c’est-à-dire :

\[\exists!(a,b,c)\in\mathbb R^3,\quad\vec t=a\vec u+b\vec v+c\vec w\]

Les réels \(a\), \(b\) et \(c\) sont les coordonnées du vecteur \(\vec t\) dans la base \((\vec u,\vec v,\vec w)\). On note également : \(\vec t\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\).

Exercice Construction d’une base et coordonnées d’un vecteur réservé aux comptes

Définition Repère cartésien

Un repère cartésien de l’espace est un quadruplet \((\Omega,\vec u,\vec v,\vec w)\) où \(\Omega\) est un point de l’espace, et \((\vec u,\vec v,\vec w)\) une base.

Définition Coordonnées cartésiennes

Tout point \(M\) de l’espace admet dans un tel repère, un unique système de coordonnées cartésiennes, c’est-à-dire un triplet \((x,y,z)\) de réels tels que \(\overrightarrow{\Omega M}=x\vec u+y\vec v+z\vec w\). On note \(M(x,y,z)\).

Définition Base orthonormale

La base \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est orthonormale si les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont orthogonaux deux à deux et normés.

Propriété Calculs de coordonnées

Soit \(R\) un repère cartésien de l’espace associé à une base \(B\). Soient les points \(A(x_A,y_A,z_A)\), \(B(x_B,y_B,z_B)\) et \(I\) le milieu de \([AB]\) dans \(R\), les vecteurs \(\vec u\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\) dans \(B\), le réel \(a\). On a :

\[\vec u+\vec v=\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{pmatrix},\quad a\vec u=\begin{pmatrix}ax\\ay\\az\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix},\quad I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)\]