Terme
Vecteur normal
- Expression
- vecteur normal, vecteurs normaux
- Termes plus larges
- Vecteur, Plan de l’espace, Orthogonalité
- Condition de définition
- Plan de l’espace, Orthogonalité
Définition
Propriété Vecteur normal d’une droite
Soient \((D)\) une droite passant par un point \(A\) et \(\vec n\) un vecteur normal à \((D)\) (c’est-à-dire \(\vec n\) est non nul et il est orthogonal à un vecteur directeur de \((D)\)). La droite \((D)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\).
Figure Droite et vecteur normal
Figure associée à la propriété du vecteur normal.
Propriété Équation cartésienne à partir d’un vecteur normal
Si \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est orthogonal à la droite \((D)\), alors \((D)\) a une équation de la forme \(ax+by+c=0\).
Propriété Réciproque
Réciproquement, si la droite \((D)\) a une équation de la forme \(ax+by+c=0\), avec \((a,b)\ne(0,0)\), alors le vecteur \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est normal à \((D)\).
Exercice Équation d’une droite à partir d’un vecteur normal réservé aux comptes
Exercice Équation d’une perpendiculaire à une droite réservé aux comptes
Exercice Distance d’un point à une droite réservé aux comptes
Module : Droites du plan
Définition Vecteur normal d’un plan
Soit \((P)\) un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\).
On appelle vecteur normal à \((P)\) tout vecteur non nul orthogonal à \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\).
Figure Plan dirigé et vecteur normal
Figure associée à la définition du vecteur normal d’un plan.
Exercice Vecteurs normaux de plans donnés réservé aux comptes
Module : Plans de l’espace
Définition formelle
Propriété Vecteur normal d’une droite
Soient \((D)\) une droite passant par un point \(A\) et \(\vec n\) un vecteur normal à \((D)\) (c’est-à-dire \(\vec n\) est non nul et il est orthogonal à un vecteur directeur de \((D)\)). La droite \((D)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\).
Figure Droite et vecteur normal
Figure associée à la propriété du vecteur normal.
Propriété Équation cartésienne à partir d’un vecteur normal
Si \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est orthogonal à la droite \((D)\), alors \((D)\) a une équation de la forme \(ax+by+c=0\).
Propriété Réciproque
Réciproquement, si la droite \((D)\) a une équation de la forme \(ax+by+c=0\), avec \((a,b)\ne(0,0)\), alors le vecteur \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est normal à \((D)\).
Exercice Équation d’une droite à partir d’un vecteur normal réservé aux comptes
Exercice Équation d’une perpendiculaire à une droite réservé aux comptes
Exercice Distance d’un point à une droite réservé aux comptes
Module : Droites du plan
Définition Vecteur normal d’un plan
Soit \((P)\) un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\).
On appelle vecteur normal à \((P)\) tout vecteur non nul orthogonal à \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\).
Figure Plan dirigé et vecteur normal
Figure associée à la définition du vecteur normal d’un plan.
Exercice Vecteurs normaux de plans donnés réservé aux comptes
Module : Plans de l’espace
Caractérisation Équation cartésienne d’un plan
L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\mathcal R\).
Tout plan \((P)\) admet, dans \(\mathcal R\), une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\). Le vecteur \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est alors un vecteur normal à \((P)\).
Réciproquement, toute équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\) est une équation cartésienne d’un plan, et le vecteur \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((P)\).
Exercice Équation cartésienne d’un plan défini par trois points réservé aux comptes
Exercice Représentation paramétrique d’un plan défini par son équation réservé aux comptes
Exercice Position relative de deux plans à partir de leurs équations réservé aux comptes
Module : Plans de l’espace
Figures
Figure Droite et vecteur normal
Figure associée à la propriété du vecteur normal.
Module : Droites du plan
Figure Plan dirigé et vecteur normal
Figure associée à la définition du vecteur normal d’un plan.
Module : Plans de l’espace