Module

Produit scalaire du plan

Domaine: Géométrie du plan
Prérequis: Vecteurs du plan

Définition et propriétés

Définition Produit scalaire

Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel noté \(\vec u\cdot\vec v\) défini par \(\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert\times\cos\theta\), où \(\theta\) désigne la mesure de l’angle formé par \(\vec u\) et \(\vec v\). Si l’un des deux vecteurs est nul, alors \(\vec u\cdot\vec v=0\).

Figure Angle du produit scalaire

Figure associée à l’angle de la définition du produit scalaire.

Exercice Calcul du produit scalaire sur cinq figures réservé aux comptes

Propriété Carré scalaire

\[\vec u^{\,2}=\vec u\cdot\vec u=\lVert\vec u\rVert^2\]

Remarques Remarques

Remarque Vecteur nul

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Remarque Produit scalaire et relation de Chasles

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan. Ne pas confondre \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Caractérisation Orthogonalité

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Propriété Bilinéarité

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, c’est-à-dire que l’on a, pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) du plan, et pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\]

\[\vec u\cdot(a\vec v+b\vec w)=a\vec u\cdot\vec v+b\vec u\cdot\vec w\]

\[(a\vec u+b\vec v)\cdot\vec w=a\vec u\cdot\vec w+b\vec v\cdot\vec w\]

Remarques Remarques

Remarque Identité de la somme

\[(\vec u+\vec v)^2=\lVert\vec u+\vec v\rVert^2=\vec u^2+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2=\lVert\vec u\rVert^2+2\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2\]

\[\vec u\cdot\vec v=\frac{1}{2}(\lVert\vec u+\vec v\rVert^2-\lVert\vec u\rVert^2-\lVert\vec v\rVert^2)\]

Remarque Identité de la différence

\[(\vec u-\vec v)^2=\lVert\vec u-\vec v\rVert^2=\vec u^2-2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2=\lVert\vec u\rVert^2-2\vec u\cdot\vec v+\lVert\vec v\rVert^2\]

Remarque Différence de carrés

\[(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u^2-\vec v^2=\lVert\vec u\rVert^2-\lVert\vec v\rVert^2\]

Remarque Vecteurs orthogonaux et famille libre

Deux vecteurs orthogonaux non nuls forment une famille libre.

Expression dans une base orthonormale

Propriété Expression du produit scalaire dans une base orthonormale

Soit \(\left(\vec i,\vec j\right)\) une base orthonormale du plan. Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs tels que \(\vec u=x\vec i+y\vec j\) et \(\vec v=x'\vec i+y'\vec j\). Alors \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\) et \(\lVert\vec u\rVert=\sqrt{x^2+y^2}\).

Remarques Remarques

Remarque Vecteur orthogonal et distance

Un vecteur orthogonal à \(\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) est \(\vec v\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}\). Pour deux points \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\), on a :

\[\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix},\quad\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]