Module
Droites du plan
- Domaine
- Géométrie du plan
- Prérequis
- Déterminant de deux vecteurs
Droites
Définition Représentation paramétrique d’une droite
Le plan est muni d’un repère \(\left(O,\vec i,\vec j\right)\). Soit \((D)\) la droite passant par le point \(A(x_0,y_0)\) et de vecteur directeur \(\vec v\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\).
On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \(\left(O,\vec i,\vec j\right)\), qui sont :
Ces formules constituent une représentation paramétrique de la droite \((D)\).
Exercice Droite passant par deux points réservé aux comptes
Exercice Lecture d’une représentation paramétrique réservé aux comptes
Propriété Équation cartésienne d’une droite
Toute droite \((D)\) a au moins une équation cartésienne du type \(ax+by+c=0\) avec \((a,b)\ne(0,0)\). Réciproquement, toute équation \(ax+by+c=0\) avec \((a,b)\ne(0,0)\) représente une droite dont un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\).
Exercice Représentation paramétrique depuis une équation réservé aux comptes
Exercice Équation cartésienne de la droite \((AB)\) réservé aux comptes
Exercice Équation cartésienne d’une représentation paramétrique réservé aux comptes
Exercice Position relative de deux droites : premier cas réservé aux comptes
Exercice Position relative de deux droites : second cas réservé aux comptes
Propriété Vecteur normal d’une droite
Soient \((D)\) une droite passant par un point \(A\) et \(\vec n\) un vecteur normal à \((D)\) (c’est-à-dire \(\vec n\) est non nul et il est orthogonal à un vecteur directeur de \((D)\)). La droite \((D)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\).
Figure Droite et vecteur normal
Figure associée à la propriété du vecteur normal.
Propriété Équation cartésienne à partir d’un vecteur normal
Si \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est orthogonal à la droite \((D)\), alors \((D)\) a une équation de la forme \(ax+by+c=0\).
Propriété Réciproque
Réciproquement, si la droite \((D)\) a une équation de la forme \(ax+by+c=0\), avec \((a,b)\ne(0,0)\), alors le vecteur \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est normal à \((D)\).
Exercice Équation d’une droite à partir d’un vecteur normal réservé aux comptes
Exercice Équation d’une perpendiculaire à une droite réservé aux comptes
Exercice Distance d’un point à une droite réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Appartenance à une droite
Soit \((D)\) la droite passant par deux points \(A(x_1,y_1)\) et \(B(x_2,y_2)\). Un point \(M\) appartient à la droite \((D)\) si et seulement si \([\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}]=0\).
Remarque Écriture réduite de l’équation
Si \(b\) est non nul, l’équation ci-dessus peut aussi s’écrire \(y=mx+p\), mais ce type d’équation ne permet de représenter que des droites non parallèles à \((Oy)\).