Terme
Produit vectoriel
- Expression
- produit vectoriel, produits vectoriels
- Termes plus larges
- Colinéarité, Orientation de l’espace
- Condition de définition
- Colinéarité, Orientation de l’espace
- Condition de définition de
- Colinéarité
Définition
Définition Produit vectoriel
Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vectoriel de \(\vec u\) par \(\vec v\), le vecteur noté \(\vec u\wedge\vec v\) défini par :
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\).
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non colinéaires:
\[\lVert\vec u\wedge\vec v\rVert=\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert\times\left|\sin\widehat{(\vec u,\vec v)}\right|\]
La direction du vecteur \(\vec u\wedge\vec v\) est la direction orthogonale à \(\vec u\) et à \(\vec v\).
Le sens du vecteur \(\vec u\wedge\vec v\) est tel que la base \((\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)\) soit une base directe.
Module : Produit vectoriel de l’espace
Figures
Figure Base orthonormale directe et produit vectoriel
Figure associée à la quatrième remarque sur le produit vectoriel.
Module : Produit vectoriel de l’espace
Remarques Remarques
Remarque Norme et angle
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non colinéaires, on peut s’écrire :
où \(\alpha\) est la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) avec \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), \(\vec v=\overrightarrow{AC}\) et \(\alpha\in[0,\pi]\).
Remarque Lecture
\(\vec u\wedge\vec v\) se lit « \(\vec u\) vectoriel \(\vec v\) »
Remarque Base usuelle
Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) la base usuelle de l’espace. C’est une base orthonormale directe.
Remarque Base orthonormale directe
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux et unitaires, alors \((\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)\) est une base orthonormale directe.
Figure Base orthonormale directe et produit vectoriel
Figure associée à la quatrième remarque sur le produit vectoriel.