Cours
Calcul matriciel et déterminants
Plan
1 Généralités
Transposée d’une matrice
2 Matrices particulières
3 Égalité de deux matrices
4 Opérations sur les matrices
4.1 Addition de deux matrices
4.2 Multiplication d’une matrice par un réel
4.3 Produit de matrices
Interprétation matricielle d’un système d’équations linéaires
5 Étude de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)
5.1 Produit de matrices carrées
5.2 Matrices inversibles
5.3 Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
6 Déterminant d’une matrice carrée
6.1 Définition et premières propriétés
6.2 Cas particuliers \(n=2\) et \(n=3\)
6.3 Développement d’un déterminant
6.4 Déterminant et matrice
Objectifs
Matrices
Maîtrise des matrices
Matrices particulières
Connaître les matrices particulières (matrice triangulaire, matrice \(I_n\), …).
Connaître · Matrices particulières
Calcul matriciel
Savoir calculer avec les matrices (somme, produit par un réel, produit matriciel, transposée …).
Calculer · Addition de deux matrices, Multiplication d’une matrice par un réel, Produit de matrices, Transposée d’une matrice
Commutativité de deux matrices
Savoir montrer que deux matrices commutent.
Déterminer · Commutativité de deux matrices carrées
Définition et propriétés des matrices inversibles
Connaître la définition et les propriétés des matrices inversibles.
Connaître, définir · Matrices inversibles
Règles de calcul matriciel
Savoir appliquer les règles de calcul : calculer \((AB)^2\), développer \((A+B)^2\), écrire « \(AB=AC\iff B=C\) si \(A\) est inversible » et « \(AB=C\iff A=CB^{-1}\) si \(B\) est inversible ».
Appliquer, calculer · Produit de matrices carrées, Matrices inversibles
Système et matrice associée
Savoir faire le lien entre système et matrice associée, en particulier si la matrice est inversible.
Utiliser · Interprétation matricielle d’un système d’équations linéaires, Matrices inversibles
Établir l’inversibilité et calculer l’inverse
Méthodes de calcul de l’inverse
Par la définition
À l’aide de la définition.
Appliquer · Matrice inversible et matrice inverse
Par les propriétés
À l’aide des propriétés, par exemple un produit de deux matrices inversibles est inversible, et \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
Appliquer · Inverse et produit de matrices inversibles
Par la résolution d’un système
À l’aide de la résolution d’un système.
Appliquer · Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
Matrice diagonale ou triangulaire
Dans le cas où cette matrice est diagonale ou triangulaire.
Déterminer · Inversibilité des matrices diagonales et triangulaires
Matrice d’ordre deux
Dans le cas où cette matrice appartient à \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Calculer, déterminer · Déterminant d’une matrice carrée, Déterminant et inversibilité
Déterminer la puissance n-ième d’une matrice
Méthodes de calcul d’une puissance
Par calcul direct pour une matrice diagonale
Par un calcul direct si la matrice est diagonale.
Calculer · Produit de matrices carrées, Matrices particulières
Par récurrence
Par récurrence, peut-être suite à une recherche d’une allure générale.
Déterminer, utiliser · Produit de matrices carrées
Par le binôme de Newton
Par la formule du binôme de Newton, après avoir vérifié que les deux matrices commutent.
Appliquer, déterminer · Binôme et différence de carrés de matrices
Déterminant d’une matrice carrée
Maîtrise du déterminant
Définition et propriétés
Connaître la définition et les propriétés.
Connaître, définir · Déterminant d’une matrice carrée
Échange de deux colonnes ou lignes
Savoir que l’échange de deux colonnes ou de deux lignes change le déterminant en son opposé.
Connaître · Définition et premières propriétés du déterminant
Multiplication d’une colonne ou ligne par un réel
Savoir que la multiplication d’une colonne ou d’une ligne par un réel \(\lambda\) multiplie le déterminant par \(\lambda\).
Connaître · Définition et premières propriétés du déterminant
Opérations élémentaires sur les colonnes
Savoir calculer un déterminant à l’aide d’opérations élémentaires de la forme \(C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j\).
Calculer, appliquer · Remarques
Faire apparaître des zéros
Savoir « amener » des zéros sur une colonne ou une ligne en faisant des opérations élémentaires.
Appliquer · Définition et premières propriétés du déterminant, Développement d’un déterminant
Développement par une colonne ou une ligne
Savoir développer un déterminant par rapport à une colonne ou une ligne.
Appliquer · Développement d’un déterminant
Développement par factorisation
Savoir développer un déterminant en faisant apparaître des factorisations.
Appliquer · Exercice
Conditions d’un déterminant nul
Connaître les conditions d’un déterminant nul.
Connaître · Déterminant d’une matrice carrée
Déterminant et inversibilité
Savoir utiliser le déterminant pour montrer qu’une matrice est inversible.
Utiliser, déterminer · Inversibilité et déterminant non nul