Module

Déterminant d’une matrice carrée

Domaine: Algèbre
Sous-modules: Déterminant et inversibilité, Développement d’un déterminant
Prérequis: Matrices à coefficients réels
Notations: Espaces de matrices à coefficients réels, Application déterminant des matrices carrées

Définition et premières propriétés du déterminant

Théorème Existence et définition de l’application déterminant

Admis.

Il existe une unique application de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\), appelée déterminant, telle que

le déterminant est linéaire par rapport à chacune des colonnes ;

l’échange de deux colonnes a pour effet de multiplier le déterminant par \(-1\) ;

le déterminant de la matrice unité \(I_n\) vaut \(1\).

Notation Notation du déterminant

On note l’application déterminant de la manière suivante :

\(\operatorname{det}:\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R}\)

\(A\longmapsto\operatorname{det}A\)

Si \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\), le déterminant de \(A\) se note :

\[\operatorname{det}(A)=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]

Propriété Formulations en colonnes des propriétés du déterminant

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(C\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

On note \(A=(C_1,\ldots,C_n)\) où \(C_i\) désigne la \(i\)-ième colonne de \(A\).

Condition (i)

\[\forall i\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\ \forall\lambda\in\mathbb{R},\qquad\operatorname{det}(C_1,\ldots,\lambda C_i,\ldots,C_n)=\lambda\operatorname{det}(C_1,\ldots,C_i,\ldots,C_n)\]

\[\operatorname{det}(C_1,\ldots,C_i+C,\ldots,C_n)=\operatorname{det}(C_1,\ldots,C_i,\ldots,C_n)+\operatorname{det}(C_1,\ldots,C,\ldots,C_n)\]

Condition (ii)

\[\forall(i,j)\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2,\ i\ne j,\qquad\operatorname{det}(C_1,\ldots,C_i,\ldots,C_j,\ldots,C_n)=-\operatorname{det}(C_1,\ldots,C_j,\ldots,C_i,\ldots,C_n)\]

Condition (iii)

\[\begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&1\end{vmatrix}=1\]

Propriété Colonnes et combinaisons linéaires

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Lorsque \(A\) a une colonne nulle, alors on a : \(\operatorname{det}A=0\).

Lorsque \(A\) a deux colonnes identiques ou proportionnelles, alors on a : \(\operatorname{det}A=0\).

\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\qquad\operatorname{det}(\lambda A)=\lambda^n\operatorname{det}A\]

Le déterminant de \(A\) reste inchangé si, à une colonne de \(A\), on ajoute une combinaison linéaire d’autres colonnes.

Remarques Remarques

Remarque Opération élémentaire sur une colonne

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note \(A=(C_1,\ldots,C_n)\) où \(C_i\) désigne la \(i\)-ième colonne de \(A\).

En particulier, les opérations élémentaires \(C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j\) laissent la valeur du déterminant inchangée.

\[\operatorname{det}A=\operatorname{det}(C_1+C_2,C_2,\ldots,C_i,\ldots,C_n)\]

\[\operatorname{det}A=\operatorname{det}(C_1,C_2+\lambda C_3+\beta C_5,C_3,\ldots,C_i,\ldots,C_n)\]

Remarque Opérations élémentaires simultanées

Attention aux opérations élémentaires simultanées !

\[\operatorname{det}A=\operatorname{det}(C_1-C_2,C_2-C_3,C_3-C_4,\ldots,C_{n-1}-C_n,C_n)\]

\[\operatorname{det}(C_1-C_2,C_2-C_3,C_3-C_4,\ldots,C_{n-1}-C_n,C_n-C_1)=0\]

Exercice Calcul d’un déterminant par opérations sur les colonnes réservé aux comptes

Cas particuliers \(n=2\) et \(n=3\)

Propriété Déterminants d’ordre deux et trois

Admis.

\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\]

\[\begin{vmatrix}a&a'&a''\\b&b'&b''\\c&c'&c''\end{vmatrix}=ab'c''+a''bc'+a'b''c-a''b'c-ab''c'-a'bc''\]

Remarques Remarques

Remarque Règle de Sarrus

Pour \(n=3\), on parle de la règle de Sarrus.

En revanche, il n’y a pas de règle pour un déterminant d’une matrice d’ordre \(n\geq4\).

Remarque Développements d’un déterminant d’ordre trois

\[\begin{vmatrix}a&a'&a''\\b&b'&b''\\c&c'&c''\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}b'&b''\\c'&c''\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}a'&a''\\c'&c''\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}a'&a''\\b'&b''\end{vmatrix}\]

\[\begin{vmatrix}a&a'&a''\\b&b'&b''\\c&c'&c''\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}b'&b''\\c'&c''\end{vmatrix}-a'\begin{vmatrix}b&b''\\c&c''\end{vmatrix}+a''\begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix}\]

Exercice Calcul de deux déterminants d’ordre trois réservé aux comptes