Module

Développement d’un déterminant

Domaine: Algèbre
Prérequis: Déterminant d’une matrice carrée
Notations: Espaces de matrices à coefficients réels, Application déterminant des matrices carrées

Développement d’un déterminant

Propriété Ajout d’une ligne et d’une colonne unités

\[\begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\\0&a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]

Propriété Déterminants diagonaux et triangulaires

\[\begin{vmatrix}\alpha&0&\cdots&0\\0&a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\alpha\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]

\[\begin{vmatrix}a_1&0&\cdots&0\\0&a_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&a_n\end{vmatrix}=a_1a_2\cdots a_n\]

\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\ddots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]

Définition Mineur d’un élément d’une matrice

Soient \(n\in\left[2,+\infty\right[\) et

\[\operatorname{det}(A)=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]

On appelle mineur de l’élément \(a_{ij}\), le déterminant \(\Delta_{ij}\) d’ordre \(n-1\), obtenu en supprimant la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne.

Théorème Développement par rapport à une colonne

Admis. Avec les notations précédentes, on a :

\[\forall j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\qquad\operatorname{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}\Delta_{ij}\]

On dit qu’on a développé le déterminant de \(A\) par rapport à la \(j\)-ième colonne.

Remarque Signe d’un élément dans le développement

\((-1)^{i+j}\) est le signe de la place qu’occupe \(a_{ij}\) dans le déterminant.

Chaque place du déterminant a un signe, \(+\) sur la diagonale principale, et les signes sont alternés sur les lignes et sur les colonnes.

Exercice Développement d’un déterminant d’ordre quatre réservé aux comptes

Exercice Factorisation de deux déterminants réservé aux comptes

Théorème Déterminant de la transposée

Admis. Soit \(A=(a_{ij})\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On a :

\[\operatorname{det}A=\operatorname{det}\left({}^tA\right)\]

Corollaire Propriétés des lignes du déterminant

Tous les théorèmes concernant les colonnes sont valables pour les lignes.

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des lignes.

L’échange de deux lignes a pour effet de multiplier le déterminant par \(-1\).

Lorsque \(A\) a une ligne nulle, alors on a : \(\operatorname{det}A=0\).

Lorsque \(A\) a deux lignes identiques ou proportionnelles, alors on a : \(\operatorname{det}A=0\).

Le déterminant de \(A\) reste inchangé si, à une ligne de \(A\), on ajoute une combinaison linéaire d’autres lignes.

\[\forall i\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\qquad\Delta=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}\Delta_{ij}\]

On dit qu’on a développé le déterminant de \(A\) par rapport à la \(i\)-ième ligne.

\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\ddots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\qquad\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\a_{n1}&\cdots&a_{n-1,n-1}&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]

Exercice Calcul de deux déterminants par les lignes réservé aux comptes