Module
Multiplication d’une matrice par un réel
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Addition de deux matrices
Multiplication d’une matrice par un réel
Définition Produit d’un réel par une matrice
Soit \(A=(a_{ij})\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\). Soit \(\lambda\) un réel.
On définit la matrice \(D=\lambda A\) de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) de la manière suivante :
\[\forall(i,j)\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\times\left[\!\left[1,p\right]\!\right],\quad d_{ij}=\lambda a_{ij}\]
Exemple résolu Factorisation de \(n\) dans une matrice réservé aux comptes
Exercice Équation matricielle de format trois par deux réservé aux comptes
Propriété Propriétés de la multiplication par un réel
La multiplication définie précédemment est externe par définition :
\[\forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),\quad\lambda A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\]
\[\forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),\quad1A=A\]
\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\ \forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\right)^2,\quad\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\]
\[\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\ \forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),\quad(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\]
\[\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\ \forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),\quad(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\]