Module
Addition de deux matrices
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Matrices à coefficients réels
Addition de deux matrices
Définition Somme de deux matrices
Soient \(A=(a_{ij})\) et \(B=(b_{ij})\) deux matrices de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\).
On définit la matrice \(C=A+B\) de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) de la manière suivante :
\[\forall(i,j)\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\times\left[\!\left[1,p\right]\!\right],\quad c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\]
Exemple résolu Somme de deux matrices de format deux par trois réservé aux comptes
Propriété Propriétés de l’addition matricielle
L’addition définie précédemment est une loi de composition interne sur \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) par définition :
\[\forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\right)^2,\quad A+B\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\]
L’addition est associative dans \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) :
\[\forall(A,B,C)\in\left(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\right)^3,\quad(A+B)+C=A+(B+C)\]
L’addition est commutative dans \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) :
\[\forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\right)^2,\quad A+B=B+A\]
L’addition admet un élément neutre, la matrice nulle :
\[\forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),\quad A+O_{n,p}=O_{n,p}+A=A\]
Toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) admet une matrice opposée, notée \(-A\) :
\[\forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),\quad A+(-A)=(-A)+A=O_{n,p}\]