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Produit de matrices
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Produit de matrices
Définition Produit de deux matrices
Soit \(A=(a_{ij})\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et \(B=(b_{ij})\) une matrice de \(\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})\).
On définit la matrice \(C=AB=A\times B\) de \(\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R})\) de la manière suivante :
Exemple résolu Produit de formats deux par deux et deux par trois réservé aux comptes
Exemple résolu Produit d’une matrice trois par trois par une matrice colonne réservé aux comptes
Exemple résolu Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne réservé aux comptes
Exemple résolu Produit de deux matrices carrées réservé aux comptes
Propriété Propriétés du produit matriciel
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois matrices à coefficients dans \(\mathbb{R}\).
Sous réserve de « compatibilité des formats », on a
Remarques Remarques
Remarque Non-commutativité du produit
En général, si les produits matriciels \(AB\) et \(BA\) existent, ils ne sont pas forcément égaux.
En effet, si
alors \(AB=O\) et \(BA=B\).
Remarque Produit nul
Si \(AB=O\), on n’a pas nécessairement \(A=O\) ou \(B=O\).
Remarque Absence de simplification du produit
Si \(AB=AC\), on n’a pas toujours \(B=C\).
Remarques Remarques
Remarque Ordre d’écriture des facteurs
L’ordre d’écriture des deux matrices est important.
Remarque Condition d’existence du produit
Le produit \(AB\) des deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\).