Module
Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Matrices inversibles
Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
Propriété Critère de Cramer pour l’inversibilité
Admis.
Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
\(A\) est inversible si et seulement si pour toute matrice \(Y\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), le système \(AX=Y\) est un système de Cramer (il possède une solution unique).
Exercice Inverse de deux matrices trois par trois réservé aux comptes
Exercice Inverse d’une matrice trois par trois réservé aux comptes
Exercice Inversibilité d’une matrice deux par deux réservé aux comptes
Propriété Inversibilité des matrices diagonales et triangulaires
Soit \(A\) une matrice diagonale (ou triangulaire) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
\(A\) est inversible si et seulement si les coefficients diagonaux sont tous non nuls.
Exercice Inversibilité de deux matrices triangulaires réservé aux comptes
Remarque Inverse d’une matrice diagonale
Si \(A=\operatorname{Diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\), et si \(\forall i\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\ \lambda_i\ne0\), alors \(A\) est inversible avec \(A^{-1}=\operatorname{Diag}\left(\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda_n}\right)\).
Remarques Remarques
Remarque Solution par la matrice inverse
Si \(A\) est inversible, le système \(AX=Y\) possède une solution unique qui est \(X=A^{-1}Y\).
Remarque Système de Cramer et matrice associée
Si \((S)\) est un système linéaire de \(n\) équations à \(n\) inconnues, \((S)\) est un système de Cramer si et seulement si la matrice associée au système \((S)\) est inversible.
Remarque Système linéaire homogène
Soit \((S)\) un système linéaire homogène de \(n\) équations à \(n\) inconnues.
L’écriture matricielle de \((S)\) est \(AX=O_{n,1}\).
Si \(A\) est inversible, \((S)\) est de Cramer :
Si \(A\) n’est pas inversible, \((S)\) est compatible : il admet une infinité de solutions.