Module
Interprétation matricielle d’un système d’équations linéaires
- Domaine
- Algèbre
Interprétation matricielle d’un système d’équations linéaires
Définition Écriture matricielle d’un système linéaire
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels non nuls.
On considère un système linéaire \((S)\) à \(n\) équations et \(p\) inconnues :
\[(S)\ \left\{\begin{aligned}a_{11}x_1+\cdots+a_{1j}x_j+\cdots+a_{1p}x_p&=b_1\\\vdots&\\a_{i1}x_1+\cdots+a_{ij}x_j+\cdots+a_{ip}x_p&=b_i\\\vdots&\\a_{n1}x_1+\cdots+a_{nj}x_j+\cdots+a_{np}x_p&=b_n\end{aligned}\right.\]
où \((a_{ij})_{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq p}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) sont des éléments de \(\mathbb{R}\).
On pose
\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{np}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}),\qquad X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_p\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R}),\qquad B=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}).\]
\(A\) est appelée la matrice du système \((S)\).
\((S)\) s’écrit matriciellement \(AX=B\).
Réciproquement, si on se donne une matrice \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et une matrice \(B\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), la recherche d’une matrice \(X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})\) vérifiant \(AX=B\) se traduit par un système linéaire.
Exemple résolu Écriture matricielle d’un système à trois inconnues réservé aux comptes