Module
Matrices particulières
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Matrices à coefficients réels
Matrices rectangulaires particulières
Notation Cadre des matrices particulières
Soit \(A\in\)\(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\).
Définition Matrice nulle
\[A=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0\end{pmatrix}=O_{n,p}=O\]
Définition Matrice ligne
\[n=1\]
\[A\in\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{R})\Longleftrightarrow\exists(a_1,\ldots,a_p)\in\mathbb{R}^p,\quad A=(a_1,a_2,\ldots,a_p)\]
Définition Matrice colonne
\[p=1\]
\[A\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\Longleftrightarrow\exists(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n,\quad A=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\]
Matrices carrées particulières
Notation Cadre des matrices carrées particulières
Soit \(A\in\)\(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) avec \(A=(a_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}}\).
Définition Matrice diagonale
\[\forall(i,j)\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2,\quad i\ne j\Longrightarrow a_{ij}=0\]
\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\0&a_{22}&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&a_{nn}\end{pmatrix}=\operatorname{Diag}(a_{11},\ldots,a_{nn})\]
Définition Matrice scalaire
On appelle matrice scalaire, une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux.
Définition Matrice identité
La matrice scalaire \(\operatorname{Diag}(1,1,\ldots,1)\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est appelée matrice unité ou matrice identité et est notée \(I_n\).
Définition Matrice triangulaire supérieure
Matrice triangulaire supérieure
\[\forall(i,j)\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2,\quad i>j\Longrightarrow a_{ij}=0\]
\[A=\begin{pmatrix}*&\cdots&\cdots&*\\0&\ddots&*&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&*\end{pmatrix}\]
Définition Matrice triangulaire inférieure
Matrice triangulaire inférieure
\[\forall(i,j)\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2,\quad i<j\Longrightarrow a_{ij}=0\]
\[A=\begin{pmatrix}*&0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\*&\ddots&\ddots&0\\*&\cdots&\cdots&*\end{pmatrix}\]