Cours
Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\)
Plan
1 Généralités
2 Opérations sur les applications linéaires
3 Noyau, image d’une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\)
4 Caractérisations des automorphismes de \(\mathbb{R}^n\)
5 Matrices et applications linéaires
6 Déterminant d’un endomorphisme
7 Changement de bases
8 Matrices semblables
Objectifs
Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\)
Objectifs préalables
Objectifs de maîtrise préalables
Revoir les objectifs de maîtrise relatifs au calcul matriciel et aux déterminants, ainsi qu’aux espaces vectoriels réels.
Utiliser · Calcul matriciel et déterminants, L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)
Généralités
Vocabulaire des applications linéaires
Connaître et maîtriser le vocabulaire : applications linéaires, endomorphismes, noyau, rang …
Connaître · Application linéaire, Endomorphisme d’un espace vectoriel réel, Noyau d’une application linéaire, Rang d’une application linéaire
Notations et ordre d’écriture
Connaître les notations \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\), \(\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2}(f)\) et \(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\), en faisant attention à l’ordre dans l’écriture donnée.
Connaître · Notations des espaces d’applications linéaires, Matrice associée dans deux bases, Matrice de passage entre deux bases
Nature d’une application
Savoir montrer qu’une application est linéaire, qu’une application est un endomorphisme, un automorphisme.
Appliquer · Endomorphisme et automorphisme
Image d’une combinaison linéaire
Savoir calculer l’image d’une combinaison linéaire de vecteurs par une application linéaire.
Calculer · Conséquences de la linéarité
Détermination par les images d’une base
Savoir qu’une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d’une base de l’espace vectoriel de départ.
Connaître · Détermination par les images d’une base
Image d’un sous-espace vectoriel
Savoir déterminer l’image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire.
Déterminer · Image d’un sous-espace vectoriel
Opérations sur les applications linéaires
Connaître les opérations sur les applications linéaires et savoir appliquer leur règle de calcul.
Par exemple, savoir transformer l’égalité \(f\circ f-4f=3\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\) en \(f\circ\frac{1}{3}\left(f-4\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\right)=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\).
Connaître, appliquer · Opérations sur les applications linéaires
Noyau et image d’une application linéaire
Définitions et propriétés
Connaître parfaitement les définitions et les propriétés, en particulier que le noyau et l’image d’une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\) sont des sous-espaces vectoriels, respectivement de \(\mathbb{R}^n\) et de \(\mathbb{R}^p\).
Connaître · Propriétés du noyau et de l’image
Noyau et base du noyau
Savoir déterminer le noyau d’une application linéaire et en donner une base.
Déterminer · Noyau d’une application linéaire
Famille génératrice de l’image
Savoir déterminer une famille génératrice de l’image d’une application linéaire.
Déterminer · Expression de l’image à partir d’une base
Base de l’image
Savoir déterminer une base de l’image d’une application linéaire.
Déterminer · Image d’une application linéaire
Rang d’une application linéaire
Savoir déterminer le rang d’une application linéaire.
Déterminer · Rang d’une application linéaire
Théorème du rang
Connaître et savoir appliquer le théorème du rang pour déterminer certaines dimensions.
Connaître, appliquer · Théorème du rang
Matrices et applications linéaires
Matrice d’une application linéaire
Savoir donner la matrice d’une application linéaire.
Exprimer · Matrice associée dans deux bases
Matrices des opérations
Savoir déterminer la matrice d’une somme de deux applications linéaires, d’une composée de deux applications linéaires, d’un automorphisme réciproque …
Déterminer · Composition et inversibilité matricielles, Matrice d’une combinaison linéaire
Traduction matricielle de l’image d’un vecteur
Savoir traduire matriciellement l’image d’un vecteur par une application linéaire.
Convertir · Produit de la matrice par les coordonnées
Écriture vectorielle et écriture matricielle
Savoir passer d’une écriture vectorielle du type \(y=f(x)\) à une écriture matricielle et réciproquement.
On veillera à ne pas confondre une égalité vectorielle et une égalité matricielle.
Convertir · Produit de la matrice par les coordonnées
Matrice de passage
Savoir écrire la matrice de passage d’une base à une autre. On fera attention à l’ordre des bases.
Exprimer · Matrice de passage entre deux bases
Inversibilité d’une matrice de passage
Savoir qu’une matrice de passage d’une base à une autre est inversible.
Connaître · Inverse d’une matrice de passage
Inverse d’une matrice de passage
Savoir calculer et interpréter l’inverse d’une matrice de passage en terme de matrice de passage.
Calculer, utiliser · Inverse d’une matrice de passage
Changement de base et coordonnées
Connaître l’effet d’un changement de base sur les coordonnées d’un vecteur.
Connaître · Transformation des coordonnées
Changement de base et matrice d’un endomorphisme
Connaître l’effet d’un changement de base sur la matrice d’un endomorphisme.
Connaître · Transformation de la matrice d’un endomorphisme
Choix d’une base adaptée
Savoir choisir une base adaptée à un problème donné en effectuant un raisonnement par analyse synthèse.
Utiliser · Changement de bases, Raisonnement par analyse-synthèse
Matrices semblables
Connaître la définition et la caractérisation de deux matrices semblables.
Connaître · Matrice semblable
Détermination de la matrice d’une application linéaire dans des bases données
Par la définition
En utilisant la définition.
Déterminer · Matrice associée dans deux bases
Après un changement de bases
Après un changement de bases.
Déterminer · Transformation de la matrice d’un endomorphisme
Démonstration qu’un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\)
À l’aide de la définition
À l’aide de la définition.
Appliquer · Endomorphisme et automorphisme
À l’aide des propriétés
À l’aide des propriétés. Par exemple, on peut reconnaître une composée de deux automorphismes de \(\mathbb{R}^n\), ou écrire \(f\circ f-4f=3\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\Leftrightarrow f\circ\frac{1}{3}\left(f-4\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\right)=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\) pour conclure que \(f\) est un automorphisme, de réciproque \(\frac{1}{3}\left(f-4\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\right)\).
Reconnaître, utiliser · Opérations sur les applications linéaires
À l’aide de l’image d’une base
À l’aide de la caractérisation : « Un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est un automorphisme si et seulement s’il transforme une base de \(\mathbb{R}^n\) en une base de \(\mathbb{R}^n\) ».
Appliquer · Caractérisation par l’image d’une base
À l’aide du noyau ou de l’image
À l’aide d’une caractérisation concernant le noyau ou l’image de l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).
Appliquer · Caractérisation par le noyau et l’image
À l’aide d’une matrice
À l’aide d’une matrice de l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).
Appliquer · Automorphisme et inversibilité de sa matrice
À l’aide d’un déterminant
À l’aide d’un déterminant de l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).
Appliquer · Critère de bijectivité