Kernevia
Compte

Terme

Image d’une application linéaire

Expression
image de \(f\)
Symbole
\(\operatorname{Im} f\)
Termes plus larges
Application linéaire, Image d’un ensemble par une application
Termes plus spécifiques
Rang d’une application linéaire
Contexte
Application linéaire
Cas particulier de
Image d’un ensemble par une application
Condition de définition de
Rang d’une application linéaire

Définition

Définition Noyau et image

Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).

On appelle noyau de \(f\), l’ensemble \(\operatorname{Ker}f=\{x\in\mathbb{R}^n\mid f(x)=0_{\mathbb{R}^p}\}\).

On appelle image de \(f\), l’ensemble \(\operatorname{Im}f=\{y\in\mathbb{R}^p\mid\exists x\in\mathbb{R}^n,\ y=f(x)\}\).

Remarques Remarques

Remarque Antécédents du vecteur nul

Le noyau de \(f\) est l’ensemble de tous les antécédents par \(f\) du vecteur nul \(0_{\mathbb{R}^p}\).

Remarque Origine du symbole Ker

Ker est l’abréviation de Kernel, signifiant noyau en anglais.

Remarque Image des vecteurs du domaine

L’image de \(f\) est l’ensemble des images par \(f\) de tous les vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).

\[\operatorname{Im}f=f(\mathbb{R}^n).\]
\[x\in\operatorname{Ker}f\Longleftrightarrow f(x)=0_{\mathbb{R}^p}.\]
\[y\in\operatorname{Im}f\Longleftrightarrow\exists x\in\mathbb{R}^n,\ y=f(x).\]

Exemple résolu Noyau et image de \(f((x,y,z))=(2x-y,y)\) réservé aux comptes

Module : Noyau et image d’une application linéaire

Définition formelle

Définition Noyau et image

Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).

On appelle noyau de \(f\), l’ensemble \(\operatorname{Ker}f=\{x\in\mathbb{R}^n\mid f(x)=0_{\mathbb{R}^p}\}\).

On appelle image de \(f\), l’ensemble \(\operatorname{Im}f=\{y\in\mathbb{R}^p\mid\exists x\in\mathbb{R}^n,\ y=f(x)\}\).

Remarques Remarques

Remarque Antécédents du vecteur nul

Le noyau de \(f\) est l’ensemble de tous les antécédents par \(f\) du vecteur nul \(0_{\mathbb{R}^p}\).

Remarque Origine du symbole Ker

Ker est l’abréviation de Kernel, signifiant noyau en anglais.

Remarque Image des vecteurs du domaine

L’image de \(f\) est l’ensemble des images par \(f\) de tous les vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).

\[\operatorname{Im}f=f(\mathbb{R}^n).\]
\[x\in\operatorname{Ker}f\Longleftrightarrow f(x)=0_{\mathbb{R}^p}.\]
\[y\in\operatorname{Im}f\Longleftrightarrow\exists x\in\mathbb{R}^n,\ y=f(x).\]

Exemple résolu Noyau et image de \(f((x,y,z))=(2x-y,y)\) réservé aux comptes

Module : Noyau et image d’une application linéaire

Remarque Image des vecteurs du domaine

L’image de \(f\) est l’ensemble des images par \(f\) de tous les vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).

\[\operatorname{Im}f=f(\mathbb{R}^n).\]
\[x\in\operatorname{Ker}f\Longleftrightarrow f(x)=0_{\mathbb{R}^p}.\]
\[y\in\operatorname{Im}f\Longleftrightarrow\exists x\in\mathbb{R}^n,\ y=f(x).\]

Module : Noyau et image d’une application linéaire