Module

Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\)

Domaine: Algèbre
Prérequis: Applications entre ensembles
Notations: Espaces d’applications linéaires réelles

Généralités sur les applications linéaires

Définition Application linéaire

Une application \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\) est dite linéaire si

\[\forall (x,y)\in(\mathbb{R}^n)^2,\quad\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2,\quad f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y).\]

Exemple résolu Application identité réservé aux comptes

Exemple résolu Homothétie vectorielle réservé aux comptes

Exemple résolu Application nulle réservé aux comptes

Exemple résolu Vérification d’une application linéaire réservé aux comptes

Définition Endomorphisme et automorphisme

Une application \(f\) linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\) est appelée endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).

Un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) est dit bijectif si tout élément de \(\mathbb{R}^n\) admet un et un seul antécédent par \(f\) dans \(\mathbb{R}^n\).

Un endomorphisme \(f\) bijectif de \(\mathbb{R}^n\) est appelé automorphisme de \(\mathbb{R}^n\).

Définition Application réciproque d’un automorphisme

Si \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), on note \(f^{-1}(y)\) l’unique solution de l’équation \(f(x)=y\).

Cette application de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\) est appelée application réciproque de \(f\).

Remarque Composition avec l’application réciproque

Si \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), alors par définition, on a :

\[f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}.\]

Notation Notations des espaces d’applications linéaires

L’ensemble des applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\) est noté \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\).

L’ensemble des endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\) est noté \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)=\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\).

L’ensemble des automorphismes de \(\mathbb{R}^n\) est noté \(\mathrm{GL}(\mathbb{R}^n)\).

Premières propriétés des applications linéaires

Propriété Conséquences de la linéarité

Soit \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\). On a :

\[f(0_{\mathbb{R}^n})=0_{\mathbb{R}^p}.\]

\[\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad f(-u)=-f(u).\]

\[\forall(\lambda_1,\ldots,\lambda_q)\in\mathbb{R}^q,\quad\forall(u_1,\ldots,u_q)\in(\mathbb{R}^n)^q,\quad f\left(\sum_{k=1}^{q}\lambda_ku_k\right)=\sum_{k=1}^{q}\lambda_kf(u_k).\]

Exemple résolu Linéarité de l’application \(g\) réservé aux comptes

Exemple résolu Linéarité de l’application \(h\) réservé aux comptes

Détermination d’une application linéaire

Théorème Détermination par les images d’une base

Soit \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) une base de \(\mathbb{R}^n\). Une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\) est entièrement déterminée par les images des vecteurs de \(\mathcal{B}\).

Exemple résolu Calcul de l’image d’un vecteur réservé aux comptes

Image d’un sous-espace vectoriel

Définition Image d’une partie par une application

Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\). Soit \(A\) une partie de \(E\). On appelle image de \(A\) par \(f\), le sous-ensemble de \(F\) défini par :

\[f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.\]

Remarque Appartenance à une image

\[y\in f(A)\Longleftrightarrow\exists x\in A,\quad y=f(x).\]

Propriété Image d’un sous-espace vectoriel

Soit \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\). Soit \(A\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

\(f(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^p\).

Exemple résolu Image de \(\operatorname{Vect}(u)\) réservé aux comptes

Exemple résolu Dimension de l’image de \(f\) réservé aux comptes

Opérations sur les applications linéaires

Propriété Addition et multiplication par un réel

Si \(f\) et \(g\) sont deux éléments de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\), alors \(f+g\) est un élément de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\).

Si \(f\) est un élément de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\), alors, pour tout réel \(a\), \(af\) est un élément de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\).

Définition Composée d’applications linéaires

Soient \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\) et \(g\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q)\).

À tout élément \(x\) de \(\mathbb{R}^n\), correspond un unique \(y=f(x)\) dans \(\mathbb{R}^p\).

À \(y\), correspond un unique \(z=g(y)\) dans \(\mathbb{R}^q\).

Donc à tout élément \(x\) de \(\mathbb{R}^n\), correspond un unique \(z=g(f(x))\) dans \(\mathbb{R}^q\).

La composée de \(g\) et de \(f\), notée \(g\circ f\), est l’application de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^q\) définie par :

\[\forall x\in\mathbb{R}^n,\quad g\circ f(x)=g(f(x)).\]

Propriété Stabilité par composition

Si \(f\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\) et \(g\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^p\) dans \(\mathbb{R}^q\), alors \(g\circ f\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^q\).

En particulier, si \(f\) et \(g\) sont deux endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\), alors \(g\circ f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).

Remarques Remarques

Remarque Existence de la composée

\(g\circ f\) peut avoir un sens et \(f\circ g\) ne pas en avoir.

Remarque Non-commutativité

Si \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont définies, on peut avoir \(f\circ g\ne g\circ f\).

Remarque Itérations d’une application

On note parfois \(f\circ f=f^2\), \(f\circ f\circ f=f^3\), et \(f\circ\cdots\circ f=f^n\).

Exemple résolu Compositions entre trois applications linéaires réservé aux comptes

Propriété Calculs avec la composition

Soient \(f,f'\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)\), \(g,g'\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q)\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\).

\[\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^p}\circ f=f\qquad\text{et}\qquad f\circ\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}=f.\]

\[g\circ(f+f')=g\circ f+g\circ f'.\]

\[(g+g')\circ f=g\circ f+g'\circ f.\]

\[g\circ(\lambda f)=\lambda(g\circ f)=(\lambda g)\circ f.\]

Propriété Inverse d’un automorphisme

Si \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), alors \(f^{-1}\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\).

Propriété Caractérisation d’automorphismes inverses

Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\) tels que \(g\circ f=f\circ g=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\), alors \(f\) et \(g\) sont des automorphismes de \(\mathbb{R}^n\), avec \(g^{-1}=f\) et \(f^{-1}=g\).

Exemple résolu Inverse exprimé en fonction de \(f\) réservé aux comptes

Propriété Inverse d’une composée d’automorphismes

Si \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), et \(g\) un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), alors \(g\circ f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^n\), avec \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).

Caractérisations des automorphismes de \(\mathbb{R}^n\)

Propriété Caractérisation par l’image d’une base

Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), muni d’une base \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\).

\(f\) est bijective si et seulement si la famille \((f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n))\) est une base de \(\mathbb{R}^n\).

Remarques Remarques

Remarque Image d’une base

\(f\) est bijective si et seulement si \(f\) transforme une base de \(\mathbb{R}^n\) en une base de \(\mathbb{R}^n\).

Exemple résolu Automorphisme défini sur \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes

Théorème Caractérisation par le noyau et l’image

Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).

\[f\text{ est bijective}\Longleftrightarrow\operatorname{Ker}f=\{0_{\mathbb{R}^n}\}\Longleftrightarrow\operatorname{Im}f=\mathbb{R}^n.\]

Exemple résolu Bijectivité d’une application de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes