Module

Changement de bases

Domaine: Algèbre
Prérequis: Bases de sous-espaces vectoriels, Matrices et applications linéaires
Notations: Espaces d’applications linéaires réelles

Matrices de passage

Définition Matrice de passage entre deux bases

Soient \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) et \(\mathcal{C}=(e'_1,e'_2,\ldots,e'_n)\) deux bases de \(\mathbb{R}^n\).

On appelle matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\), notée \(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\), la matrice dont la \(j\)-ème colonne, pour \(j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), est formée des composantes de \(e'_j\) dans la base \(\mathcal{B}\).

C’est donc une matrice carrée à \(n\) lignes et à \(n\) colonnes.

\[\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{C})=\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\qquad\forall j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\quad e'_j=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_i.\]

Exemple résolu Passage de \((i,j)\) à \((I,J)\) réservé aux comptes

Remarque Matrice de l’application identité

\(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\) est la matrice de l’application identité de \(\mathbb{R}^n\), muni de la base \(\mathcal{C}\), dans \(\mathbb{R}^n\), muni de la base \(\mathcal{B}\), avec attention à l’ordre des bases.

Figure Schéma de l’identité entre deux bases

Schéma de l’application identité exprimée entre deux bases.

Propriété Inverse d’une matrice de passage

Si \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) sont deux bases de \(\mathbb{R}^n\), alors la matrice de passage \(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\) est inversible avec :

\[\left(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\right)^{-1}=\mathcal{P}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}.\]

Effet du changement de base sur les coordonnées

Explication Coordonnées dans les bases \((i,j)\) et \((I,J)\)

Dans \(\mathbb{R}^2\), muni de la base \((i,j)\), on considère les vecteurs \(I=2i+3j\) et \(J=4i+5j\).

La famille \((I,J)\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) et la matrice de passage de la base \((i,j)\) à la base \((I,J)\) est :

\[\mathcal{P}_{(i,j),(I,J)}=\begin{pmatrix}2&4\\3&5\end{pmatrix}.\]

Soit \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^2\) de coordonnées \((a,b)\) dans la base \((i,j)\), et de coordonnées \((A,B)\) dans la base \((I,J)\). Déterminons une relation entre ces coordonnées.

Théorème Transformation des coordonnées

Soit \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^n\). Étant données deux bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) de \(\mathbb{R}^n\), si l’on désigne par \(X\) la matrice colonne des coordonnées du vecteur \(x\) dans la base \(\mathcal{B}\), et par \(X'\) la matrice colonne des coordonnées de ce même vecteur \(x\) dans la base \(\mathcal{C}\), alors on a :

\[X=\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}X'.\]

Exemple résolu Coordonnées de \(u\) dans une nouvelle base réservé aux comptes

Effet du changement de base sur la matrice d’un endomorphisme

Explication Lien entre deux matrices d’un endomorphisme

Soient deux bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) de \(\mathbb{R}^n\), et soit \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\). Déterminer un lien entre \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\) et \(A'=\mathcal{M}_{\mathcal{C}}(f)\).

Théorème Transformation de la matrice d’un endomorphisme

Soient deux bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) de \(\mathbb{R}^n\), et soit \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\).

Si l’on désigne par \(A\) la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\), et par \(A'\) la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{C}\), alors on a :

\[A'=\mathcal{P}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}A\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}.\]

Remarque Écriture avec une seule matrice de passage

Si l’on note \(P=\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\), on a : \(A'=P^{-1}AP\).

Exemple résolu Matrice d’un endomorphisme dans la base \(\mathcal{C}\) réservé aux comptes