Terme
Matrice de passage entre deux bases
- Expression
- matrice de passage, matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\)
- Symbole
- \(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\)
- Termes plus larges
- Base
- Contexte
- Base
Définition
Définition Matrice de passage entre deux bases
Soient \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) et \(\mathcal{C}=(e'_1,e'_2,\ldots,e'_n)\) deux bases de \(\mathbb{R}^n\).
On appelle matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\), notée \(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\), la matrice dont la \(j\)-ème colonne, pour \(j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), est formée des composantes de \(e'_j\) dans la base \(\mathcal{B}\).
C’est donc une matrice carrée à \(n\) lignes et à \(n\) colonnes.
\[\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{C})=\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\qquad\forall j\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\quad e'_j=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_i.\]
Exemple résolu Passage de \((i,j)\) à \((I,J)\) réservé aux comptes
Module : Changement de bases
Remarque Matrice de l’application identité
\(\mathcal{P}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\) est la matrice de l’application identité de \(\mathbb{R}^n\), muni de la base \(\mathcal{C}\), dans \(\mathbb{R}^n\), muni de la base \(\mathcal{B}\), avec attention à l’ordre des bases.
Figure Schéma de l’identité entre deux bases
Schéma de l’application identité exprimée entre deux bases.