Module
Déterminant d’un endomorphisme
- Domaine
- Algèbre
Définition et propriétés
Définition Déterminant d’un endomorphisme
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), muni d’une base \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\).
On appelle déterminant de \(f\), le déterminant de la famille de vecteurs \((f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n))\) dans la base \(\mathcal{B}\), noté \(\det(f)\).
\[\det(f)=\det_{\mathcal{B}}(f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n)).\]
Propriété Déterminant et matrice associée
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), muni d’une base \(\mathcal{B}\). On a :
\[\det(f)=\det\left(\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\right).\]
Propriété Critère de bijectivité
Un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) est bijectif si et seulement si \(\det(f)\ne0\).