Module
Noyau et image d’une application linéaire
- Domaine
- Algèbre
Définitions
Définition Noyau et image
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).
On appelle noyau de \(f\), l’ensemble \(\operatorname{Ker}f=\{x\in\mathbb{R}^n\mid f(x)=0_{\mathbb{R}^p}\}\).
On appelle image de \(f\), l’ensemble \(\operatorname{Im}f=\{y\in\mathbb{R}^p\mid\exists x\in\mathbb{R}^n,\ y=f(x)\}\).
Exemple résolu Noyau et image de \(f((x,y,z))=(2x-y,y)\) réservé aux comptes
Propriétés du noyau et de l’image
Propriété Noyau et image comme sous-espaces vectoriels
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).
\(\operatorname{Ker}f\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).
\(\operatorname{Im}f\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^p\).
Propriété Expression de l’image à partir d’une base
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).
Soit \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) une base de \(\mathbb{R}^n\).
Remarques Remarques
Remarque Famille génératrice de l’image
La famille \((f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n))\) est une famille génératrice de \(\operatorname{Im}f\).
Exemple résolu Calcul de l’image de deux applications linéaires réservé aux comptes
Exemple résolu Noyau et image de \(f((x,y,z))=(x-y,y-z)\) réservé aux comptes
Théorème du rang
Définition Rang d’une application linéaire
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).
La dimension de \(\operatorname{Im}f\) est appelée le rang de \(f\). On le note \(\operatorname{rg}(f)\).
Théorème Théorème du rang
Admis.
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^p\).
Remarques Remarques
Remarque Rang et dimension du noyau
Exemple résolu Rang et base du noyau d’une forme linéaire réservé aux comptes
Exemple résolu Noyau et base de l’image d’une application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^4\) réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Antécédents du vecteur nul
Le noyau de \(f\) est l’ensemble de tous les antécédents par \(f\) du vecteur nul \(0_{\mathbb{R}^p}\).
Remarque Origine du symbole Ker
Ker est l’abréviation de Kernel, signifiant noyau en anglais.
Remarque Image des vecteurs du domaine
L’image de \(f\) est l’ensemble des images par \(f\) de tous les vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).