Module

L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)

Domaine: Algèbre
Prérequis: Ensembles usuels de nombres

L’ensemble \(\mathbb{R}^n\)

Définition \(n\)-uplets et ensemble \(\mathbb{R}^n\)

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

On appelle \(n\)-uplet de réels toute suite finie de \(n\) réels \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) que l’on notera \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\).

L’ensemble des \(n\)-uplets de réels est appelé \(\mathbb{R}^n\).

Remarques Remarques

Remarque Égalité de deux n-uplets

L’égalité de deux \(n\)-uplets de réels est définie de la façon suivante :

\[(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\Longleftrightarrow\forall i\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right],\quad x_i=y_i\]

Remarque Identification de \(\mathbb{R}^1\)

Si \(n=1\), on notera \(\mathbb{R}^1=\mathbb{R}\) et \((x)\) s’écrira \(x\).

Remarque Interprétation de \(\mathbb{R}^2\)

Si \(n=2\), on notera \(\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^2\) et tout élément de \(\mathbb{R}^2\) est un couple de réels \((x,y)\).

Cet ensemble peut être représenté par l’ensemble des vecteurs du plan rapporté à une base.

Remarque Interprétation de \(\mathbb{R}^3\)

Si \(n=3\), on notera \(\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^3\) et tout élément de \(\mathbb{R}^3\) est un triplet de réels \((x,y,z)\).

Cet ensemble peut être représenté par l’ensemble des vecteurs de l’espace rapporté à une base.

Remarque Écriture d’un élément de \(\mathbb{R}^n\)

Dans la suite, on notera par une lettre un élément de \(\mathbb{R}^n\) : \(x\in\mathbb{R}^n\) signifie qu’il existe \(n\) réels \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) tels que \(x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\).

Définition Famille de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)

On appelle famille de \(p\) éléments de \(\mathbb{R}^n\) toute suite de \(p\) éléments de \(\mathbb{R}^n\).

Exemple résolu Famille de trois vecteurs de \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes

Opérations sur \(\mathbb{R}^n\)

Définition Addition dans \(\mathbb{R}^n\)

La somme de deux éléments \(x\) et \(y\) de \(\mathbb{R}^n\) est définie par :

\[(x_1,x_2,\ldots,x_n)+(y_1,y_2,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots,x_n+y_n)\]

Exemple résolu Addition de deux vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) réservé aux comptes

Propriété Propriétés de l’addition dans \(\mathbb{R}^n\)

L’addition est interne dans \(\mathbb{R}^n\) :

\[\forall(u,v)\in(\mathbb{R}^n)^2,\quad u+v\in\mathbb{R}^n\]

L’addition est associative dans \(\mathbb{R}^n\) :

\[\forall(u,v,w)\in(\mathbb{R}^n)^3,\quad(u+v)+w=u+(v+w)\]

L’addition est commutative dans \(\mathbb{R}^n\) :

\[\forall(u,v)\in(\mathbb{R}^n)^2,\quad u+v=v+u\]

L’addition admet dans \(\mathbb{R}^n\) un élément neutre \((0,0,\ldots,0)\), noté \(0_{\mathbb{R}^n}\) :

\[\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad u+0_{\mathbb{R}^n}=0_{\mathbb{R}^n}+u=u\]

Tout élément de \(\mathbb{R}^n\) admet un opposé dans \(\mathbb{R}^n\) :

\[\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad\exists u'\in\mathbb{R}^n,\quad u+u'=u'+u=0_{\mathbb{R}^n}\]

\(u'\) est noté \(-u\).

Définition Multiplication d’un vecteur par un réel

La multiplication d’un élément \(x\) de \(\mathbb{R}^n\) par un réel \(\lambda\) (parfois appelé scalaire) est définie par :

\[\lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(\lambda x_1,\lambda x_2,\ldots,\lambda x_n)\]

Exemple résolu Multiplications scalaires dans des espaces de \(n\)-uplets réservé aux comptes

Propriété Propriétés de la multiplication par un réel

La multiplication par un réel est externe :

\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad\lambda u\in\mathbb{R}^n\]

\[\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad 1u=u\]

\[\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\forall(u,v)\in(\mathbb{R}^n)^2,\quad\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v\]

\[\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\quad\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad(\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u\]

\[\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\quad\forall u\in\mathbb{R}^n,\quad(\lambda\mu)u=\lambda(\mu u)\]

Définition Structure d’espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\)

On résume toutes les propriétés précédentes en disant que \(\mathbb{R}^n\), muni de l’addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel.

Les éléments de \(\mathbb{R}^n\) sont aussi appelés vecteurs.

Exemple résolu Espaces vectoriels \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes