Ensembles usuels de nombres

Définition Ensembles de nombres

Nous supposons connus les ensembles suivants, leurs opérations usuelles \(+\), \(-\), \(\times\) et \(/\), ainsi que les propriétés élémentaires de ces dernières.

\(\mathbb{N}\) est l’ensemble des entiers naturels : \(0,1,2,\ldots\).

\(\mathbb{Z}\) est l’ensemble des entiers relatifs : c’est l’ensemble des entiers naturels et de leurs opposés.

\(\mathbb{Q}\) est l’ensemble des rationnels : c’est l’ensemble des quotients \(\frac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont deux entiers relatifs, \(q\) non nul.

\(\mathbb{R}\) est l’ensemble des réels : il contient, outre les rationnels, les irrationnels tels que \(\pi\), \(\sqrt{2}\), …

\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) est l’ensemble des irrationnels.

\(\mathbb{C}\) est l’ensemble des complexes : ses éléments sont de la forme \(a+ib\), \(a\) et \(b\) deux réels et \(i\) le complexe vérifiant \(i^2=-1\).

Notation Sous-ensembles numériques

Ces ensembles privés de \(0\) sont respectivement notés \(\mathbb{N}^*\), \(\mathbb{Z}^*\), \(\mathbb{Q}^*\), \(\mathbb{R}^*\), \(\mathbb{C}^*\).

\(\mathbb{Q}_+\), \(\mathbb{R}_+\) sont respectivement les ensembles des rationnels positifs et des réels positifs.

\(\mathbb{Z}_-\), \(\mathbb{Q}_-\), \(\mathbb{R}_-\) sont respectivement les ensembles des entiers négatifs, des rationnels négatifs et des réels négatifs.

\(\mathbb{Q}_+^*\), \(\mathbb{R}_+^*\) sont respectivement les ensembles des rationnels strictement positifs et des réels strictement positifs.

\(\mathbb{Z}_-^*\), \(\mathbb{Q}_-^*\), \(\mathbb{R}_-^*\) sont respectivement les ensembles des entiers strictement négatifs, des rationnels strictement négatifs et des réels strictement négatifs.

Notation Couples et n-uplets de réels

Nous noterons aussi : \(\mathbb{R}^2\), l’ensemble des couples de réels.

\(\mathbb{R}^n\), l’ensemble des \(n\)-uplets de réels, \(n\) étant un entier naturel non nul.