Module
Dérivabilité en un point
- Domaine
- Analyse
- Sous-modules
- Dérivabilité et continuité, Dérivabilité et nombres dérivés latéraux, Dérivée d’une fonction réciproque, Fonctions de classe \(\mathcal{C}^k\) sur un intervalle, Égalité des accroissements finis, Extremum d’une fonction dérivable, Fonction dérivée sur un intervalle, Méthode de Newton, Opérations sur les fonctions dérivables, Théorème de Rolle, Variations d’une fonction dérivable
Dérivabilité en un point
Définition Dérivabilité et nombre dérivé
Soient \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(a\in I\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si la fonction \(\tau_a\), appelée taux d’accroissement de \(f\) entre \(x\) et \(a\), définie sur \(I\setminus\{a\}\) par
admet une limite finie en \(a\).
Cette limite est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\) et est notée \(f'(a)\) ou \(\frac{df}{dx}(a)\).
Exemple résolu Dérivabilité de \(x\sqrt{|x|}\) en zéro réservé aux comptes
Exemple résolu Dérivabilité d’une fonction oscillante en zéro réservé aux comptes
Interprétations du nombre dérivé
Propriété Tangente à une courbe
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f'(a)\) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(a\).
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors la courbe représentative de \(f\) admet au point d’abscisse \(a\) une tangente d’équation :
Lorsque \(f\), continue en \(a\), n’est pas dérivable en \(a\), mais que le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), alors la courbe représentative de \(f\) admet au point d’abscisse \(a\) une tangente verticale d’équation \(x=a\).
Définition Vitesse instantanée dans un mouvement rectiligne
Pour un mouvement rectiligne où l’on repère le mobile par son abscisse \(x(t)\) à l’instant \(t\), la vitesse moyenne entre les instants \(t_1\) et \(t_2\) est le taux d’accroissement de la fonction \(x\) entre ces deux instants :
La vitesse moyenne sur un petit intervalle de temps \([t,t+\Delta t]\) constitue une approximation de la vitesse instantanée \(V(t)\) à l’instant \(t\).
La vitesse instantanée à l’instant \(t\) est :
Remarques Remarques
Remarque Expression limite du nombre dérivé
Si \(f\) est dérivable en \(a\), on a :
Remarque Expression avec un accroissement nul
Il est souvent pratique de se ramener à une limite en \(0\), en considérant, pour \(a+h\in I\),