Module
Dérivée d’une fonction réciproque
- Domaine
- Analyse
- Notations
- Intervalle des fonctions dérivables
Dérivée d’une fonction réciproque
Méthode Mise en place du calcul de la dérivée d’une réciproque
On suppose que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\).
Avec la notation de Leibniz, on cherche à dériver \(x\), considéré comme fonction de \(y\), on cherche donc \(\frac{dx}{dy}\).
Sous réserve d’existence, on peut écrire \(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\).
Une condition d’existence est d’avoir \(\frac{dy}{dx}\ne0\).
Théorème Dérivée d’une fonction réciproque en un point
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\) et dérivable en un réel \(a\) de \(I\).
La fonction \(f^{-1}\) est dérivable en \(b=f(a)\) si et seulement si \(f'(a)\ne0\).
Corollaire Dérivée d’une fonction réciproque sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle \(I\).
Si \(f'\) ne s’annule pas sur \(I\), alors la fonction \(f^{-1}\) est dérivable sur \(f(I)\) et on a :
Exemple résolu Dérivabilité de la réciproque de sinus plus identité réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Tangente verticale lorsque la dérivée est nulle
Si \(f'(a)=0\), \(f^{-1}\) n’est pas dérivable en \(b\).
Comme on a \(\lim_{y\to b}\left|\tau_b(y)\right|=+\infty\), la courbe représentative de \(f^{-1}\) admet au point d’abscisse \(b\) une tangente verticale.