Module
Fonctions de classe \(\mathcal{C}^k\) sur un intervalle
- Domaine
- Analyse
Dérivées successives
Définition Dérivabilité deux fois et dérivée seconde
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\).
La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) si la fonction \(f'\) est dérivable en tout point de \(I\).
Sa dérivée est appelée fonction dérivée seconde de \(f\) et se note \(f''\).
Définition Dérivabilité d’ordre \(n\) et dérivée \(n\)-ième
Soit \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\). On pose \(f^{(0)}=f\).
Soit \(n\in \mathbb{N}^*\).
On dit que \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) si \(f\) est \((n-1)\) fois dérivable sur \(I\) et si la fonction dérivée \((n-1)\)-ième de \(f\), notée \(f^{(n-1)}\), est dérivable sur \(I\).
Fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) et \(\mathcal{C}^\infty\)
Définition Fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) et \(\mathcal{C}^\infty\)
Soit \(n\in \mathbb{N}^*\).
On dit que \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) si \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) et si \(f^{(n)}\) est continue sur \(I\).
Si, pour tout entier naturel \(n\), \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\), on dit que \(f\) est indéfiniment dérivable sur \(I\) ou de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(I\).
L’ensemble des fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) est noté :
L’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables est noté :
Remarques Remarques
Remarque Continuité des dérivées successives
Si \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\), alors \(f^{(n)}\) et toutes les dérivées précédentes de \(f\) sont continues sur \(I\).
Remarque Classes de régularité inférieures
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) si et seulement si \(\forall p\in[0,n]\), \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^p\) sur \(I\).
Exemple résolu Fonction inverse sur les intervalles non nuls réservé aux comptes
Opérations usuelles sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\)
Propriété Combinaison linéaire de fonctions \(n\) fois dérivables
Soient \(n\) un entier naturel non nul, \(a\) et \(b\) deux réels.
Si \(f\) et \(g\) sont \(n\) fois dérivables sur \(I\), alors \(af+bg\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) et :
Si \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\), alors \(af+bg\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\).
Exemple résolu Régularité d’une fonction polynomiale réservé aux comptes
Propriété Produit de fonctions \(n\) fois dérivables
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Si \(f\) et \(g\) sont \(n\) fois dérivables sur \(I\), alors \(fg\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\).
Si \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\), alors \(fg\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\).
Exemple résolu Dérivées successives de \(x\mapsto xe^{-x}\) réservé aux comptes
Propriété Composition de fonctions \(n\) fois dérivables
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) et si \(g\) est \(n\) fois dérivable sur \(J\) avec \(f(I)\subset J\), alors \(g\circ f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\).
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\) et si \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(J\) avec \(f(I)\subset J\), alors \(g\circ f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\).
Propriété Inverse d’une fonction \(n\) fois dérivable non nulle
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) et si \(f\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\frac{1}{f}\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\).
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\) et si \(f\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\frac{1}{f}\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\).
Remarques Remarques
Remarque Régularité d’une fraction rationnelle
Une fraction rationnelle est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur tout intervalle compris dans son domaine de définition.
Remarque Régularité des fonctions obtenues par opérations usuelles
Toute fonction obtenue par des sommes, des produits et des composées de fractions rationnelles et de fonctions usuelles (\(\exp\), \(\ln\), …) qui sont de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur leur ensemble de définition, est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur tout intervalle où elle est définie.
Propriété Régularité de la fonction réciproque
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(I\) dont \(f'\) ne s’annule pas sur \(I\), est une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) et sa fonction réciproque \(f^{-1}\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) (respectivement \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(f(I)\).
Démonstration Bijectivité lorsque la dérivée ne s’annule pas
\(f'\) est continue sur \(I\) et ne s’annule pas sur \(I\) : elle garde donc un signe constant sur \(I\).
Ainsi, \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\).
Exemple résolu Régularité de la réciproque de la fonction sh réservé aux comptes
Exemple résolu Régularité de \(x\mapsto x^2\sin\frac{1}{x}\) réservé aux comptes
Remarque Continuité de la dérivée précédente
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\), alors \(f^{(n-1)}\) est continue sur \(I\) (mais pas nécessairement \(f^{(n)}\)).