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Extremum d’une fonction dérivable
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- Analyse
- Notations
- Intervalle des fonctions dérivables
Extremum d’une fonction dérivable
Propriété Condition nécessaire d’extremum local
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).
Soit \(a\) un réel de \(I\) qui n’en est pas une extrémité.
Si \(f\) présente un extremum local en \(a\) et si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f'(a)=0\).
Remarques Remarques
Remarque Extremum local à une extrémité
Si \(a\) est une extrémité de \(I\), une fonction peut présenter un extremum local en \(a\) et être dérivable en \(a\) sans que son nombre dérivé soit nul.
Figure Maximum atteint à une extrémité
Exemple graphique d’un maximum atteint à l’extrémité droite d’un segment.
Remarque Extremum local sans dérivabilité
Une fonction peut avoir un extremum local en \(a\) et ne pas être dérivable en \(a\), par exemple \(f:x\mapsto|x|\).
Remarque La réciproque est fausse
La réciproque de la propriété est fausse. Par exemple la fonction \(x\mapsto x^3\) a un nombre dérivé nul en \(0\) mais n’admet pas d’extremum. L’annulation de la dérivée de \(f\) en \(a\) est une condition nécessaire pour que \(f\) possède un extremum local en \(a\).