Terme
Nombre dérivé d’une fonction
- Expression
- nombre dérivé
- Termes plus larges
- Dérivabilité d’une fonction, Taux d’accroissement d’une fonction
- Termes plus spécifiques
- Nombre dérivé à droite d’une fonction, Nombre dérivé à gauche d’une fonction, Vitesse instantanée
- Employé par
- Tangente à une courbe, Vitesse instantanée
Définition
Définition Dérivabilité et nombre dérivé
Soient \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(x_0\in I\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) si la fonction \(\tau_{x_0}\), appelée taux d’accroissement de \(f\) entre \(x\) et \(x_0\), définie sur \(I\setminus\{x_0\}\), admet une limite finie en \(x_0\).
\[\tau_{x_0}(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
Cette limite s’appelle nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) et se note \(f'(x_0)\).
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\]
Module : Dérivée d’une fonction
Figures
Figure Courbe et droite d’approximation locale
Schéma de l’approximation locale.
Module : Dérivée d’une fonction
Remarques Remarques
Remarque Limite du taux d’accroissement
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), on a \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\).
Remarque Expression avec un accroissement nul
Il est souvent pratique de se ramener à une limite en \(0\), en considérant, pour \(x_0+h\in I\),
Remarque Approximation locale par une droite
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors la fonction \(x\mapsto\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\) a une limite nulle en \(x_0\).
Il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(I\) par
vérifiant :
Au voisinage de \(x_0\), \(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) est une valeur approchée de \(f(x)\) avec une erreur égale à \((x-x_0)\varepsilon(x)\), où \(\varepsilon\) tend vers \(0\) en \(x_0\) :
Figure Courbe et droite d’approximation locale
Schéma de l’approximation locale.