Module
Variations d’une fonction dérivable
- Domaine
- Analyse
- Notations
- Intervalle des fonctions dérivables
Fonctions constantes et fonctions monotones
Propriété Critères dérivés de constance et de monotonie
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\).
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(I\).
\(f\) est croissante sur \(I\) si, et seulement si, \(\forall x\in I,\ f'(x)\geq0\).
\(f\) est décroissante sur \(I\) si, et seulement si, \(\forall x\in I,\ f'(x)\leq0\).
\(f\) est constante sur \(I\) si, et seulement si, \(\forall x\in I,\ f'(x)=0\).
Fonctions strictement monotones
Propriété Signe strict de la dérivée et stricte monotonie
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\).
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(I\).
Si \(\forall x\in I,\ f'(x)>0\) alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(\forall x\in I,\ f'(x)<0\) alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Remarque Réciproque fausse
La réciproque est fausse.
En effet, \(f:x\mapsto x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) mais sa dérivée s’annule en \(0\).
Théorème Caractérisation des fonctions strictement monotones
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
\(f\) est strictement monotone sur \(I\) si et seulement si on a les deux conditions suivantes.
Sa dérivée est de signe constant.
Il n’existe pas d’intervalle inclus dans \(I\) contenant au moins deux points sur lequel \(f'\) soit identiquement nulle.
Corollaire Zéros finis de la dérivée et stricte monotonie
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
Si \(f'\) est positive sur \(I\) et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(f'\) est négative sur \(I\) et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Remarque Réciproque fausse des zéros finis
La réciproque du corollaire est fausse.
En effet, la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x-\cos x\) est-elle strictement monotone sur \(\mathbb{R}\) ?
\(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(\forall x\in\mathbb{R},\ f'(x)=1+\sin x\).
On a : \(\forall x\in\mathbb{R},\ f'(x)\geq0\) et \(f'(x)=0\Longleftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\).
\(f'\) ne s’annule qu’en des points isolés de \(\mathbb{R}\).
\(f'\) ne s’annule sur aucun intervalle \([a,b]\), \(a<b\).
\(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Figure Courbe de la fonction \(x\mapsto x-\cos x\)
Illustration de la stricte croissance de \(x\mapsto x-\cos x\).
Remarques Remarques
Remarque Deux fonctions de même dérivée
La troisième partie de la propriété entraîne que deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et dont les dérivées sont égales sur \(I\) diffèrent d’une constante.
Remarque Extremum et changement de signe de la dérivée
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(I\). Soit \(a\) un point de \(I\) qui ne soit pas une borne de \(I\).
\(f\) admet un extremum en \(a\) si, et seulement si, \(f'\) s’annule en \(a\) en changeant de signe.