Nombres complexes

Plan

1. 1 L’ensemble des nombres complexes

   • Nombres complexes

2. 2 Conjugué d’un nombre complexe

   • Conjugué d’un nombre complexe

3. 3 Module d’un nombre complexe

   • Module d’un nombre complexe
     • Module d’un nombre complexe
     • Distances associées au module

4. 4 Argument d’un nombre complexe non nul

   • Argument d’un nombre complexe non nul

5. 5 Équations du second degré à coefficients réels dans les complexes

   • Équations du second degré à coefficients réels dans les complexes

Objectifs

Nombres complexes

Vocabulaire

• Vocabulaire des nombres complexes

  Maîtriser le vocabulaire. Par exemple, savoir déterminer l’image d’un nombre complexe, l’affixe d’un milieu d’un segment…

  Connaître, déterminer · Image et affixes, Affixes de vecteurs et d’un milieu

Conjugaison et module

• Définition et propriétés du conjugué et du module

  Connaître la définition et les propriétés.

  Connaître, définir · Conjugué d’un nombre complexe, Module d’un nombre complexe

• Forme algébrique d’un quotient

  Donner la forme algébrique d’un quotient.

  Exprimer · Identités et inverse d’un complexe

• Inégalité triangulaire

  Connaître l’inégalité triangulaire.

  Connaître · Calculs et inégalité triangulaire du module

Notation exponentielle

• Notation exponentielle et propriétés

  Connaître la définition et les propriétés de la notation \(e^{i\theta}\), \(\theta\) réel.

  Connaître, définir · Notation exponentielle, Égalité de nombres en notation exponentielle

• Exponentielle d’un complexe

  Connaître la définition de \(e^z\), \(z\) complexe.

  Connaître, définir · Exponentielle d’un complexe

• Formules d’Euler

  Connaître et savoir appliquer les formules d’Euler. Par exemple, factoriser \(1\pm e^{i\theta}\), linéariser une expression trigonométrique.

  Connaître, appliquer · Formules d’Euler, Linéarisation

• Formule de Moivre

  Connaître et savoir appliquer la formule de Moivre. Par exemple, exprimer \(\cos(3x)\) en fonction de \(\cos(x)\) et de \(\sin(x)\).

  Connaître, appliquer, exprimer · Formule de Moivre

Arguments d’un nombre complexe non nul

• Définition et propriétés de l’argument

  Connaître la définition et les propriétés.

  Connaître, définir · Argument d’un nombre complexe non nul, Calculs sur les arguments

• Forme exponentielle d’un complexe non nul

  Écrire un nombre complexe non nul sous la forme exponentielle.

  Exprimer · Forme exponentielle d’un complexe

• Forme algébrique depuis la forme exponentielle

  Expliciter la forme algébrique d’un complexe non nul écrit sous la forme exponentielle.

  Exprimer · Forme algébrique d’un complexe, Forme exponentielle d’un complexe

Équations du second degré

• Forme canonique d’un trinôme

  Mettre le trinôme \(az^2+bz+c\) sous forme canonique.

  Exprimer · Forme canonique d’un polynôme du second degré

• Résolution d’une équation du second degré

  Résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\).

  Déterminer · Résolution d’une équation du second degré