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Compte

Module

Module d’un nombre complexe

Domaine
Algèbre
Prérequis
Nombres complexes

Définition du module d’un complexe

Définition Module d’un nombre complexe

Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, \(x\) et \(y\) étant deux réels.

On appelle module de \(z\) le réel positif noté \(|z|\), défini par :

\[|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{x^2+y^2}\]

Remarques Remarques

Remarque Inverse d’un complexe non nul
\[z\in\mathbb C^*\Longrightarrow \frac1z=\frac{1\times\overline z}{z\times\overline z}=\frac{\overline z}{|z|^2}\]
Remarque Module d’un réel

Si \(z\) est un réel, alors le module de \(z\) est égal à sa valeur absolue.

Exemple résolu Calculs de modules et forme algébrique réservé aux comptes

Exemple résolu Représentation d’un point et de son module réservé aux comptes

Interprétation géométrique du module

Propriété Distances associées au module

Soit \(M\) un point d’affixe \(z\). Le module de \(z\) est la distance \(OM\) :

\[OM=\left\lVert\overrightarrow{OM}\right\rVert=|z|\]

Soient \(M\) et \(M'\) deux points d’affixes respectives \(z\) et \(z'\). On a :

\[MM'=\left\lVert\overrightarrow{MM'}\right\rVert=|z'-z|\]

Remarques Remarques

Remarque Norme d’un vecteur d’affixe donnée

Soit \(\vec w\) un vecteur d’affixe \(z\). On a : \(\left\lVert\vec w\right\rVert=|z|\).

Remarque Cercle défini par un module

\(M\) appartient au cercle de centre \(A\), de rayon \(r\) si et seulement si \(AM=r\), c’est-à-dire si et seulement si \(|z-a|=r\).

Remarque Cercle unité

Le cercle unité (ou trigonométrique) est formé des points images des complexes de module \(1\).

Remarque Médiatrice et égalité de modules

Soient \(A\), \(B\) et \(M\) trois points d’affixes respectives \(a\), \(b\) et \(z\).

\(M\) est sur la médiatrice du segment \([AB]\) si et seulement si \(AM=BM\), c’est-à-dire si et seulement si \(|z-a|=|z-b|\).

Exemple résolu Lieu géométrique défini par un module réservé aux comptes

Propriétés du module d’un complexe

Propriété Calculs et inégalité triangulaire du module

Pour tout \((z,z')\) de \(\mathbb C^2\), on a :

  • \(|z|\geq 0\).

  • \((|z|=0)\Longleftrightarrow(z=0)\).

  • \(|z|=|\overline z|\).

  • \(|zz'|=|z|\,|z'|\), et, \(\forall n\in\mathbb N\), \(|z^n|=|z|^n\).

  • Si \(z\) est non nul, alors on a : \(\left|\frac1z\right|=\frac1{|z|}\) et \(\left|\frac{z'}z\right|=\frac{|z'|}{|z|}\).

L’inégalité triangulaire : \(|z+z'|\leq|z|+|z'|\).

Figure Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire

Représentation géométrique associée à l’inégalité triangulaire.

Remarques Remarques

Remarque Parallélogramme et inégalité triangulaire

Soient \(M(z)\) et \(M'(z')\). \(OMNM'\) est un parallélogramme.

\[ON\leq OM+MN\]
Remarque Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire
\[\forall(z,z')\in\mathbb C^2,\quad |z+z'|=|z|+|z'|\Longleftrightarrow\left(z=0\ \text{ou}\ \exists a\in\mathbb R_+,\ z'=az\right)\]
Remarque Inégalités et produits de plusieurs complexes

Soient \(n\in\mathbb N^*\) et \(a_1,\ldots,a_n,\lambda\) des nombres complexes.

\[\left|\sum_{i=1}^{n}a_i\right|\leq\sum_{i=1}^{n}|a_i|\qquad \left|\sum_{i=1}^{n}\lambda a_i\right|\leq|\lambda|\times\sum_{i=1}^{n}|a_i|\]
\[\left|\prod_{i=1}^{n}a_i\right|=\prod_{i=1}^{n}|a_i|\qquad \left|\prod_{i=1}^{n}\lambda a_i\right|=|\lambda|^n\prod_{i=1}^{n}|a_i|\]