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Compte

Terme

Inégalité triangulaire

Expression
inégalité triangulaire
Termes plus larges
Module d’un complexe
Emploie
Module d’un complexe

Définition

Propriété Calculs et inégalité triangulaire du module

Pour tout \((z,z')\) de \(\mathbb C^2\), on a :

  • \(|z|\geq 0\).

  • \((|z|=0)\Longleftrightarrow(z=0)\).

  • \(|z|=|\overline z|\).

  • \(|zz'|=|z|\,|z'|\), et, \(\forall n\in\mathbb N\), \(|z^n|=|z|^n\).

  • Si \(z\) est non nul, alors on a : \(\left|\frac1z\right|=\frac1{|z|}\) et \(\left|\frac{z'}z\right|=\frac{|z'|}{|z|}\).

L’inégalité triangulaire : \(|z+z'|\leq|z|+|z'|\).

Figure Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire

Représentation géométrique associée à l’inégalité triangulaire.

Remarques Remarques

Remarque Parallélogramme et inégalité triangulaire

Soient \(M(z)\) et \(M'(z')\). \(OMNM'\) est un parallélogramme.

\[ON\leq OM+MN\]
Remarque Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire
\[\forall(z,z')\in\mathbb C^2,\quad |z+z'|=|z|+|z'|\Longleftrightarrow\left(z=0\ \text{ou}\ \exists a\in\mathbb R_+,\ z'=az\right)\]
Remarque Inégalités et produits de plusieurs complexes

Soient \(n\in\mathbb N^*\) et \(a_1,\ldots,a_n,\lambda\) des nombres complexes.

\[\left|\sum_{i=1}^{n}a_i\right|\leq\sum_{i=1}^{n}|a_i|\qquad \left|\sum_{i=1}^{n}\lambda a_i\right|\leq|\lambda|\times\sum_{i=1}^{n}|a_i|\]
\[\left|\prod_{i=1}^{n}a_i\right|=\prod_{i=1}^{n}|a_i|\qquad \left|\prod_{i=1}^{n}\lambda a_i\right|=|\lambda|^n\prod_{i=1}^{n}|a_i|\]

Module : Module d’un nombre complexe

Figures

Figure Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire

Représentation géométrique associée à l’inégalité triangulaire.

Module : Module d’un nombre complexe