Module

Argument d’un nombre complexe non nul

Domaine: Algèbre
Prérequis: Module d’un nombre complexe

Notation exponentielle des complexes

Notation Notation exponentielle

Pour tout réel \(\theta\), on pose :

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]

Remarques Remarques

Remarque Périodicité de la notation exponentielle

\[\forall k\in\mathbb Z,\quad e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}\]

Remarque Valeurs remarquables de la notation exponentielle

\[e^{i\frac\pi2}=i\qquad e^{i\pi}=-1\qquad e^{i\frac{3\pi}2}=-i\]

\[e^{i\frac\pi4}=\frac{\sqrt2}{2}(1+i)\qquad e^{-i\frac\pi6}=\frac{\sqrt3}{2}-i\frac12\qquad e^{i\frac{2\pi}3}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\]

Remarque Modules et notation exponentielle

\(e^{i\theta}\) est un nombre complexe de module \(1\).

Réciproquement, soit \(z\) un nombre complexe de module \(1\) : \(z=x+iy\) et \(x^2+y^2=1\).

Il existe au moins un réel \(\theta\) tel que \(x=\cos\theta\) et \(y=\sin\theta\), c’est-à-dire \(z=e^{i\theta}\).

Propriété Égalité de nombres en notation exponentielle

\[\forall(\theta,\theta')\in\mathbb R^2,\quad e^{i\theta}=e^{i\theta'}\Longleftrightarrow\theta=\theta'+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\Longleftrightarrow\theta\equiv\theta'\ [2\pi]\]

Exemple résolu Équation en notation exponentielle réservé aux comptes

Calculs en notation exponentielle

Propriété Calculs sur les nombres en notation exponentielle

\[\forall(\theta,\theta')\in\mathbb R^2,\quad e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\]

\[\forall\theta\in\mathbb R,\quad \frac1{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\overline{e^{i\theta}}\]

\[\forall(\theta,\theta')\in\mathbb R^2,\quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}\]

Exemple résolu Module d’une somme en notation exponentielle réservé aux comptes

Définition Exponentielle d’un complexe

Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, \(x\) et \(y\) étant deux réels.

On appelle exponentielle du complexe \(z\), le complexe défini par :

\[e^z=e^x e^{iy}\]

Exemple résolu Calculs avec l’exponentielle d’un complexe réservé aux comptes

Formule de Moivre

Propriété Formule de Moivre

\[\forall\theta\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\quad \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}\]

Autre formulation :

\[\forall\theta\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\quad (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\]

Application Expression de cosinus et sinus réservé aux comptes

Exemple résolu Expressions de cosinus et sinus réservé aux comptes

Formules d’Euler

Propriété Formules d’Euler

\[\forall\theta\in\mathbb R,\quad \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]

Remarque Linéarisation

Les formules d’Euler permettent de calculer les puissances de \(\cos x\) et/ou de \(\sin x\) en fonction d’expressions du type \(\cos(px)\) et/ou \(\sin(px)\).

Exemple résolu Linéarisation de puissances trigonométriques réservé aux comptes

Exemple résolu Factorisation avec une exponentielle réservé aux comptes

Formes trigonométrique et exponentielle d’un complexe

Remarque Transformation d’une somme ou d’une différence

Transformation d’une somme ou d’une différence de deux nombres complexes de module \(1\) (par exemple \(e^{ix}\pm e^{iy}\), \((x,y)\in\mathbb R^2\)) en un produit en factorisant par \(e^{i\frac{x+y}{2}}\).

\[e^{ix}+e^{iy}=e^{i\frac{x+y}{2}}\left(\frac{e^{ix}}{e^{i\frac{x+y}{2}}}+\frac{e^{iy}}{e^{i\frac{x+y}{2}}}\right)=e^{i\frac{x+y}{2}}\left(e^{i\frac{x-y}{2}}+e^{i\frac{y-x}{2}}\right)=e^{i\frac{x+y}{2}}\left(2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\right)=2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\times e^{i\frac{x+y}{2}}\]

\[e^{ix}-e^{iy}=e^{i\frac{x+y}{2}}\left(e^{i\frac{x-y}{2}}-e^{i\frac{y-x}{2}}\right)=e^{i\frac{x+y}{2}}\left(2i\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right)=2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\times i e^{i\frac{x+y}{2}}\]

Définition Argument d’un nombre complexe non nul

Si \(z\) est un nombre complexe non nul, le complexe \(\frac{z}{|z|}\) est de module \(1\).

Il existe donc un réel \(\theta\) tel que \(\frac{z}{|z|}=e^{i\theta}\), ce qui donne \(z=|z|e^{i\theta}\).

\(\theta\) est appelé argument de \(z\), défini à \(2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)).

Si \(z\) est un nombre complexe non nul, et si \(\theta\) est un argument de \(z\), on note :

\[\operatorname{arg}(z)=\theta+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)\qquad \text{ou}\qquad \operatorname{arg}(z)\equiv\theta\ [2\pi]\]

Remarques Remarques

Remarque Formes exponentielle et trigonométrique

Tout nombre complexe non nul peut se mettre sous la forme exponentielle : \(z=re^{i\theta}\) avec \(|z|=r\) et \(\operatorname{arg}(z)\equiv\theta\ [2\pi]\), ou encore sous la forme trigonométrique : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).

Remarque Calcul du module et d’un argument

Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe non nul, \(x\) et \(y\) étant deux réels.

\[|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\]

\[\cos\theta=\frac{x}{r}\qquad \sin\theta=\frac{y}{r}\]

Remarque Coordonnées polaires d’un point

Avec les notations précédentes, le point \(M\) d’affixe \(z=re^{i\theta}\) a pour coordonnées polaires \((r,\theta)\).

Figure Coordonnées polaires d’un point

Interprétation géométrique des coordonnées polaires.

Remarque Arguments de réels et d’imaginaires purs

Pour tout \(z\) de \(\mathbb C^*\), on a :

\[z\in\mathbb R_+^*\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)=0+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)\equiv0\ [2\pi]\]

\[z\in\mathbb R_-^*\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)=\pi+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)\equiv\pi\ [2\pi]\]

\[z\ \text{est un imaginaire pur}\Longleftrightarrow z\in i\mathbb R^*\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)=\frac\pi2+k\pi\ (k\in\mathbb Z)\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)\equiv\frac\pi2\ [\pi]\]

Exemple résolu Coordonnées polaires d’un point réservé aux comptes

Exemple résolu Arguments et formes exponentielles réservé aux comptes

Exemple résolu Calculs de puissances de complexes réservé aux comptes

Propriétés de l’argument d’un complexe

Propriété Calculs sur les arguments

Pour tout \((z,z')\) de \((\mathbb C^*)^2\), on a :

\[z=z'\Longleftrightarrow\begin{cases}|z|=|z'|\\ \exists k\in\mathbb Z\ /\ \operatorname{arg}(z)=\operatorname{arg}(z')+2k\pi\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}|z|=|z'|\\ \operatorname{arg}(z)\equiv\operatorname{arg}(z')\ [2\pi]\end{cases}\]

\[\operatorname{arg}(zz')\equiv\operatorname{arg}(z)+\operatorname{arg}(z')\ [2\pi]\]

\[\operatorname{arg}(\overline z)\equiv-\operatorname{arg}(z)\ [2\pi]\]

\[\operatorname{arg}\left(\frac1z\right)\equiv-\operatorname{arg}(z)\ [2\pi]\]

\[\operatorname{arg}\left(\frac{z}{z'}\right)\equiv\operatorname{arg}(z)-\operatorname{arg}(z')\ [2\pi]\]

\[\forall n\in\mathbb Z,\quad \operatorname{arg}(z^n)\equiv n\operatorname{arg}(z)\ [2\pi]\]

Exemple résolu Argument d’un quotient de puissances réservé aux comptes

Exemple résolu Argument d’une somme exponentielle réservé aux comptes