Terme

Équation du second degré à coefficients réels dans les complexes

Expression: équation du second degré, équations du second degré
Termes plus larges: Polynôme du second degré, Complexes
Cas particulier de: Polynôme du second degré
Contexte: Complexes

Définition

Propriété Résolution d’une équation du second degré

Soient trois réels \(a\), \(b\), \(c\) avec \(a\) non nul.

Soit l’équation du second degré \((E)\colon az^2+bz+c=0\), d’inconnue \(z\), \(z\in\mathbb C\), de discriminant \(\Delta=b^2-4ac\).

Si \(\Delta>0\), \((E)\) admet deux racines distinctes : \(z_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\), \(z_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\).

Si \(\Delta=0\), \((E)\) admet une racine double \(z_0=\frac{-b}{2a}\).

Si \(\Delta<0\), \((E)\) admet deux racines complexes conjuguées : \(z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), \(z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).

Remarques Remarques

Remarque Forme canonique d’un polynôme du second degré

Lors de la preuve, on fait apparaître le début du développement d’un carré :

\[az^2+bz+c=a\left[z^2+\frac ba z+\frac ca\right]=a\left[\left(z+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca\right]=a\left(z+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\]

Cette écriture est appelée forme canonique de \(az^2+bz+c\).

Exemple résolu Forme canonique de polynômes du second degré réservé aux comptes

Remarque Factorisation par les racines

Si on note \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation \(az^2+bz+c=0\) (éventuellement confondues), alors pour tout nombre complexe \(z\), on a :

\[az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)\]

Exemple résolu Résolution d’équations du second degré réservé aux comptes

Module : Équations du second degré à coefficients réels dans les complexes