Séries de Fourier

Plan

1. 1 Fonctions définies par morceaux

   1. 1.1 Fonction continue par morceaux

      • Fonctions continues par morceaux

   2. 1.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

      • Intégrale des fonctions continues par morceaux

   3. 1.3 Fonctions périodiques

      • Fonctions périodiques continues par morceaux

   4. 1.4 Fonctions de classe C¹ par morceaux

      • Fonctions de classe C¹ par morceaux

2. 2 Coefficients et séries de Fourier

   1. 2.1 Coefficients de Fourier

      • Coefficients de Fourier

   2. 2.2 Séries de Fourier

      • Séries de Fourier

3. 3 Théorèmes de convergence

   1. 3.1 Convergence d’une série de Fourier

      • Convergence des séries de Fourier

   2. 3.2 Formule de Parseval

      • Formule de Parseval

Objectifs

Séries de Fourier

Objectifs des parcours antérieurs

• Révision des objectifs antérieurs

  Revoir les objectifs des parcours de trigonométrie, de calcul de primitives, de limites et continuité, d’intégration sur un segment et de séries numériques.

  Utiliser · Trigonométrie, Calcul de primitives, Limites et continuité, Intégration sur un segment, Séries numériques

Définitions des fonctions par morceaux

• Fonction continue par morceaux sur un segment

  Connaître et comprendre la définition d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

  Connaître, définir · Fonction continue par morceaux sur un segment

• Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

  Connaître et comprendre la définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

  Connaître, définir · Intégrale d’une fonction continue par morceaux

• Continuité par morceaux d’une fonction périodique

  Connaître et comprendre la continuité par morceaux sur \(\mathbb R\) d’une fonction périodique.

  Connaître, définir · Fonction périodique continue par morceaux

• Fonction de classe C¹ par morceaux sur un segment

  Connaître et comprendre la définition d’une fonction de classe C¹ par morceaux sur un segment.

  Connaître, définir · Fonction de classe C¹ par morceaux sur un segment

• Fonction périodique de classe C¹ par morceaux

  Connaître et comprendre la définition d’une fonction de classe C¹ par morceaux sur \(\mathbb R\) d’une fonction périodique.

  Connaître, définir · Fonction périodique de classe C¹ par morceaux

Coefficients de Fourier d’une fonction

• Définitions des coefficients de Fourier

  Connaître les définitions des coefficients de Fourier.

  Connaître, définir · Coefficients de Fourier trigonométriques

• Propriétés selon la parité de la fonction

  Connaître les propriétés des coefficients de Fourier d’une fonction paire ou impaire.

  Connaître · Coefficients de Fourier des fonctions paires et impaires

Série et sommes de Fourier

• Série de Fourier d’une fonction

  Connaître la définition d’une série de Fourier d’une fonction \(f\).

  Connaître, définir · Série de Fourier et sommes associées

• Somme partielle de Fourier d’une fonction

  Connaître la définition d’une somme partielle de Fourier d’une fonction \(f\).

  Connaître, définir · Série de Fourier et sommes associées

• Somme d’une série de Fourier

  Connaître la définition d’une somme d’une série de Fourier en cas de convergence.de celle-ci en un réel \(x\).

  Connaître, définir · Série de Fourier et sommes associées

Convergence d’une série de Fourier

• Théorème de Dirichlet et corollaire

  Connaître et savoir appliquer l’énoncé du théorème de Dirichlet et son corollaire.

  Connaître, appliquer · Convergence d’une série de Fourier, Convergence pour une fonction continue

• Conditions de convergence ponctuelle

  Connaître les conditions de convergence ponctuelle d’une série de Fourier.

  Connaître · Convergence d’une série de Fourier

• Détermination d’une somme de série

  Savoir utiliser la convergence ponctuelle pour déterminer la valeur de sommes de séries données.

  Utiliser, déterminer · Convergence d’une série de Fourier, Exemple résolu

Formule de Parseval

• Énoncé de la formule de Parseval

  Connaître et savoir appliquer la formule de Parseval.

  Connaître, appliquer · Identité entre intégrale et coefficients de Fourier

• Application de la formule de Parseval

  Savoir appliquer la formule de Parseval pour montrer que les séries \(\sum(a_n(f))^2\) et \(\sum(b_n(f))^2\) sont convergentes, et pour calculer la somme de séries convergentes, par exemple \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\).

  Appliquer, calculer · Identité entre intégrale et coefficients de Fourier