Terme
Coefficient de Fourier trigonométrique
- Expression
- coefficient de Fourier trigonométrique, coefficients de Fourier trigonométriques, coefficient de Fourier, coefficients de Fourier
- Termes plus larges
- Fonction périodique, Pulsation associée à une période
- Termes plus spécifiques
- Formule de Parseval, Série de Fourier
- Contexte
- Fonction périodique
- Employé par
- Formule de Parseval, Série de Fourier
Définition
Définition Coefficients de Fourier trigonométriques
Soient \(T>0\), \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) la pulsation associée et \(f\in \mathcal C_{mT}(\mathbb R)\).
On appelle coefficients de Fourier trigonométriques de \(f\) les réels
\[a_0(f)=\frac{1}{T}\int_0^Tf(x)\,dx=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\,dx\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad a_n(f)=\frac{2}{T}\int_0^Tf(x)\cos(n\omega x)\,dx=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)\,dx\]
\[\forall n\in\mathbb N^*,\quad b_n(f)=\frac{2}{T}\int_0^Tf(x)\sin(n\omega x)\,dx=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin(n\omega x)\,dx\]
Exemple résolu Calcul des coefficients d’une fonction impaire de période \(2\pi\) réservé aux comptes
Exemple résolu Calcul des coefficients d’une fonction de période \(\pi\) réservé aux comptes
Module : Coefficients de Fourier
Remarques Remarques
Remarque Coefficient constant et valeur moyenne
Le coefficient \(a_0(f)\) représente la valeur moyenne de \(f\) sur une période.
Remarque Notation simplifiée des coefficients
Lorsqu’il n’y aura pas de confusion possible, on pourra noter \(a_n\) et \(b_n\) au lieu de \(a_n(f)\) et \(b_n(f)\).
Remarque Choix de la formule de calcul
Dans cette définition, deux formules sont données pour chaque coefficient, mais il est évident qu’il ne faudra en utiliser qu’une en exercice, à vous de choisir la bonne selon le contexte !