Module
Formule de Parseval
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Convergence des séries de Fourier
Identité de Parseval
Théorème Identité entre intégrale et coefficients de Fourier
Soit \(f\) une fonction \(T\)-périodique et continue par morceaux sur \(\mathbb R\).
Avec les notations des coefficients de Fourier, les séries \(\sum (a_n(f))^2\) et \(\sum (b_n(f))^2\) convergent et l’on a :
\[\frac{1}{T}\int_0^T f^2(t)\,\mathrm{d}t=(a_0(f))^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left((a_n(f))^2+(b_n(f))^2\right)\]
\[\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f^2(t)\,\mathrm{d}t=(a_0(f))^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left((a_n(f))^2+(b_n(f))^2\right)\]
Exemple résolu Somme des inverses des carrés réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Choix de l’intégrale selon le contexte
Deux formules sont données pour la somme de la série ; en exercice, une seule est à utiliser, selon le contexte.
Remarque Calcul de sommes de séries convergentes
Cette formule permet de calculer des sommes de séries convergentes.