Module
Fonctions périodiques continues par morceaux
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- Coefficients de Fourier
Continuité et intégrales sur une période
Définition Fonction périodique continue par morceaux
Soit \(f\) une fonction \(T\)-périodique.
\(f\) est continue par morceaux sur \(\mathbb R\) si elle est continue par morceaux sur une période, c’est-à-dire sur un intervalle de la forme \([a,a+T]\), \(a\) étant un réel.
Exemple résolu Représentations de fonctions périodiques réservé aux comptes
Notation Espace des fonctions périodiques continues par morceaux
On notera \(\mathcal C_{mT}(\mathbb R)\) l’ensemble des fonctions \(T\)-périodiques et continues par morceaux sur \(\mathbb R\).
Propriété Intégrale sur une période
Soit \(f\in \mathcal C_{mT}(\mathbb R)\).
\[\forall a\in\mathbb R,\quad\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^Tf(x)\,dx\]
En particulier, on a :
\[\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\,dx=\int_0^Tf(x)\,dx\]
Propriété Intégrale d’une fonction paire périodique
Soit \(f\in \mathcal C_{mT}(\mathbb R)\).
Si \(f\) est paire, alors :
\[\int_0^Tf(x)\,dx=\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\,dx=2\int_0^{T/2}f(x)\,dx\]
Propriété Intégrale d’une fonction impaire périodique
Soit \(f\in \mathcal C_{mT}(\mathbb R)\).
Si \(f\) est impaire, alors :
\[\int_0^Tf(x)\,dx=\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\,dx=0\]