Module
Convergence des séries de Fourier
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Séries de Fourier
- Notations
- Pulsation associée à une période
Théorème de Dirichlet et régularisation
Théorème Convergence d’une série de Fourier
Soit \(f\) une fonction \(T\)-périodique et de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux sur \(\mathbb R\).
Alors la série de Fourier de \(f\) converge pour tout réel \(x\) et, avec les notations de la définition de la série de Fourier, on a :
Exemple résolu Somme de la série alternée des inverses impairs réservé aux comptes
Définition Régularisée d’une fonction
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\).
On appelle régularisée de \(f\), la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
Exemple résolu Détermination du graphe d’une régularisée réservé aux comptes
Corollaire Convergence pour une fonction continue
Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), continue sur \(\mathbb R\), \(T\)-périodique et de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux sur \(\mathbb R\).
Alors la série de Fourier de \(f\) converge pour tout réel \(x\) et :
Remarques Remarques
Remarque Écriture de la somme de Fourier
Avec les notations de la définition de la série de Fourier, on a :
Remarque Valeur de la somme selon la continuité
Si \(f\) est continue en \(x\), on a :
Si \(f\) n’est pas continue en \(x\), \(\frac{1}{2}\lim_{h\to0}\left(f(x+h)+f(x-h)\right)\) est la moyenne des limites à droite et à gauche de \(f\) en \(x\).