Module

Intégrale des fonctions continues par morceaux

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonctions continues par morceaux

Intégrale et propriétés

Définition Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur le segment \([a,b]\), avec \(a<b\).

On note \(x_0=a<x_1<\cdots<x_i<x_{i+1}<\cdots<x_n=b\) ses points de discontinuité.

Soit \(f_i\) la restriction de \(f\) à \(]x_i,x_{i+1}[\) et \(\widetilde f_i\) le prolongement par continuité de \(f_i\) à \([x_i,x_{i+1}]\).

L’intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) est le réel :

\[\int_a^bf(t)\,dt=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\widetilde f_i(t)\,dt\]

Remarques Remarques

Remarque Indépendance du découpage

Cette définition ne dépend pas des réels \(x_i\) choisis.

Remarque Valeurs aux points de discontinuité

La valeur de l’intégrale ne dépend pas de la valeur de \(f\) aux points de discontinuité.

Remarque Intégrale des prolongements continus

L’intégrale \(\int_{x_i}^{x_{i+1}}\widetilde f_i(t)\,dt\) est celle d’une fonction continue sur un segment.

Remarque Conventions de borne

\[\int_a^af(t)\,dt=0\qquad\text{et}\qquad\int_a^bf(t)\,dt=-\int_b^af(t)\,dt\]

Exemple résolu Calcul d’une intégrale par découpage réservé aux comptes

Propriété Relation de Chasles

Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur un segment \(I\).

Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(c\) de \(I\), on a :

\[\int_a^bf(t)\,dt=\int_a^cf(t)\,dt+\int_c^bf(t)\,dt\]

Propriété Linéarité de l’intégrale

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux sur un segment \(I\).

Pour tous réels \(a\), \(b\) de \(I\), et pour tous réels \(\lambda\), \(\mu\), on a :

\[\int_a^b(\lambda f+\mu g)(t)\,dt=\lambda\int_a^bf(t)\,dt+\mu\int_a^bg(t)\,dt\]

Propriété Positivité de l’intégrale

Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur un segment \(I\). Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\), avec \(a\le b\).

Si \(f\) est positive sur \([a,b]\), alors :

\[\int_a^bf(t)\,dt\ge0\]

Remarque Fonction positive d’intégrale nulle

\[\begin{cases}\forall x\in]0,1],\ f(x)=0\\f(0)=1\end{cases}\]

\(f\) est une fonction non nulle, continue par morceaux sur \([0,1]\), mais \(\int_0^1f(t)\,dt=0\).

Comme une fonction continue par morceaux sur un segment n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité, on en déduit qu’une fonction continue par morceaux, positive, qui a une intégrale nulle est nulle sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Figure Graphe d’une fonction non nulle d’intégrale nulle

Représentation de la fonction de la remarque.

Corollaire Croissance de l’intégrale

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux sur un segment \(I\). Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\), avec \(a\le b\).

Si \(\forall x\in[a,b],\ f(x)\le g(x)\), alors :

\[\int_a^bf(t)\,dt\le\int_a^bg(t)\,dt\]

Propriété Majoration de la valeur absolue d’une intégrale

Soit \(f\) une fonction continue par morceaux sur un segment \(I\). Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\), avec \(a\le b\).

\[\left|\int_a^bf(t)\,dt\right|\le\int_a^b|f(t)|\,dt\]