Polynômes et fractions rationnelles

Plan

1. 1 Polynômes

   • Polynômes

2. 2 Division euclidienne des polynômes

   • Division euclidienne des polynômes

3. 3 Racines d’un polynôme

   • Racines d’un polynôme

4. 4 Fractions rationnelles

   • Fractions rationnelles

   1. 4.1 Partie entière d’une fraction rationnelle

      • Partie entière d’une fraction rationnelle

   2. 4.2 Partie polaire d’une fraction rationnelle relative à un pôle

      • Partie polaire d’une fraction rationnelle

   3. 4.3 Décomposition en éléments simples dans \(\mathbb{R}\)

      • Décomposition en éléments simples dans \(\mathbb{R}\)

Objectifs

Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes

• Vocabulaire et notations des polynômes

  Maîtriser le vocabulaire et les notations (coefficient, degré, monôme, polynôme unitaire ou normalisé, reste, racine, zéro, \(\mathbb{R}_n[X]\)…).

  Connaître · Définitions, Degré d’un polynôme, Division euclidienne, Définition

• Degré d’un polynôme

  Savoir déterminer le degré d’un polynôme.

  Déterminer · Degré et coefficient dominant

• Division euclidienne

  Connaître le principe de la division euclidienne et savoir l’appliquer.

  Connaître, appliquer · Existence et unicité de la division euclidienne

• Divisibilité des polynômes

  Connaître la définition d’un polynôme divisible par un autre.

  Connaître · Divisibilité dans les polynômes

• Racines simples et multiples

  Connaître la définition d’une racine d’un polynôme, d’une racine multiple d’un polynôme.

  Connaître · Racine d’un polynôme, Racine d’ordre donné

• Racine évidente d’un polynôme

  Savoir déterminer une racine évidente d’un polynôme.

  Déterminer · Propriétés

• Multiplicité d’une racine

  Savoir déterminer la multiplicité d’une racine d’un polynôme.

  Déterminer · Racine d’ordre donné

• Factorisation d’un polynôme dans \(\mathbb{R}\)

  Savoir factoriser un polynôme dans \(\mathbb{R}\).

  Appliquer · Factorisation à partir des racines

Fractions rationnelles

• Vocabulaire des fractions rationnelles

  Maîtriser le vocabulaire (partie entière, partie polaire relative à un pôle, élément simple de première espèce, élément simple de deuxième espèce…).

  Connaître · Partie entière d’une fraction rationnelle, Partie polaire d’une fraction rationnelle, Élément simple de première espèce, Élément simple de deuxième espèce

• Pôles simples et multiples

  Connaître la définition d’un pôle simple, d’un pôle multiple d’une fraction rationnelle.

  Connaître · Pôle et multiplicité

• Partie entière d’une fraction rationnelle

  Savoir calculer la partie entière d’une fraction rationnelle.

  Calculer · Décomposition en partie entière

• Partie polaire relative à un pôle simple

  Savoir calculer la partie polaire relative à un pôle simple.

  Calculer · Partie polaire relative à un pôle simple

• Forme de la décomposition en éléments simples

  Savoir déterminer la forme de la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle.

  Déterminer · Décomposition unique

• Éléments d’une décomposition en éléments simples

  Savoir calculer les différents éléments de la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle.

  Calculer · Décomposition unique, Partie polaire relative à un pôle simple, Partie polaire relative à un pôle double