Polynômes

Définition Polynôme à une indéterminée

On appelle polynôme à une indéterminée \(X\) et à coefficients dans \(\mathbb{R}\), toute expression de la forme

où \(a_0,\ a_1,\ a_2,\ldots,a_n\) sont des éléments de \(\mathbb{R}\) appelés coefficients du polynôme \(P\).

On appelle monôme, tout polynôme de la forme \(aX^k\) et polynôme constant, tout polynôme du type \(aX^0\), avec \(a\in\mathbb{R}\).

La fonction \(P\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) qui, à \(x\), associe \(P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\) est appelée fonction polynomiale associée au polynôme \(P\).

Théorème Égalité par les coefficients

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux.

(admis)

Définition Degré et coefficient dominant

Soit \(P\) un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\).

Le plus grand entier \(k\) tel que \(a_k\ne0\) est appelé degré de \(P\). On le note \(\deg(P)\).

Si \(\deg(P)=n\), \(a_nX^n\) est appelé monôme de plus haut degré de \(P\), \(a_n\) est appelé coefficient dominant de \(P\).

Si, de plus, \(a_n=1\), \(P\) est dit unitaire (ou normalisé).

Si tous les coefficients du polynôme \(P\) sont nuls, \(P\) est le polynôme nul et par convention, on pose \(\deg(P)=-\infty\).

Propriété Degré de la somme

On considère deux polynômes \(P\) de degré \(n\) et \(Q\) de degré \(p\).

Leur somme \(P+Q\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(\max(\deg(P),\deg(Q))\), avec égalité lorsque \(\deg(P)\ne\deg(Q)\).

Exemple résolu Degré d’une somme de polynômes réservé aux comptes

Propriété Degré et coefficient dominant du produit

Leur produit \(PQ\) est un polynôme de degré \(n+p\), c’est-à-dire \(\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)\).

Le coefficient dominant de \(PQ\) est le produit des coefficients de \(P\) et \(Q\).