Module
Fractions rationnelles
- Domaine
- Algèbre
- Sous-modules
- Décomposition en éléments simples dans \(\mathbb{R}\), Partie entière d’une fraction rationnelle, Partie polaire d’une fraction rationnelle
- Prérequis
- Polynômes
Définitions
Définition Fraction rationnelle
On appelle fraction rationnelle à coefficients dans \(\mathbb{R}\), le quotient de deux polynômes de \(\mathbb{R}[X]\).
Définition Fraction rationnelle irréductible
On dit qu’une fraction rationnelle est irréductible si son numérateur et son dénominateur n’ont pas de racine commune.
Pôles
Définition Pôle et multiplicité
Soit \(F=\frac{P}{Q}\), une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible.
Soient \(\alpha\in\mathbb{R}\), et \(k\in\mathbb{N}^*\).
On dit que \(\alpha\) est un pôle de \(F\), avec la multiplicité \(k\) si \(\alpha\) est une racine du polynôme \(Q\), avec la multiplicité \(k\).
Remarques Remarques
Remarque Pôle simple
\(k=1\) : \(\alpha\) est un pôle simple de \(F\).
Remarque Pôle double
\(k=2\) : \(\alpha\) est un pôle double de \(F\).
Remarque Racine et pôle
\(\alpha\) ne peut être à la fois racine et pôle (car la fraction est irréductible).
Exemple résolu Pôle d’une fraction rationnelle réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Hypothèse d’irréductibilité
Dans toute la suite, on supposera que les fractions rationnelles sont irréductibles.