Division euclidienne des polynômes

Théorème Existence et unicité de la division euclidienne

Soit \((A,B)\in(\mathbb{R}[X])^2\) avec \(B\ne0\).

Il existe un unique couple \((Q,R)\) de \((\mathbb{R}[X])^2\) tel que \(A=BQ+R\) et \(\deg(R)<\deg(B)\).

\(Q\) et \(R\) sont appelés quotient et reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).

(admis)

Exemple résolu Division euclidienne d’un polynôme cubique réservé aux comptes

Exemple résolu Division euclidienne d’un polynôme de degré quatre réservé aux comptes

Définition Divisibilité dans les polynômes

Soit \((A,B)\in(\mathbb{R}[X])^2\) avec \(B\ne0\).

On dit que \(A\) est divisible par \(B\) dans \(\mathbb{R}[X]\) s’il existe \(Q\) de \(\mathbb{R}[X]\) tel que \(A=BQ\).

On dit aussi que \(B\) divise \(A\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

On note alors \(B\mid A\).