Cours
Limites et continuité
Plan
Voisinages et propriétés locales
1 Limites
2 Opérations sur les limites
3 Limites et inégalités
4 Limites à gauche et à droite
5 Fonctions monotones et limites
6 Limites classiques à connaître
7 Continuité en un point
8 Prolongement par continuité
9 Propriétés des fonctions continues en un point
10 Continuité sur un intervalle
11 Théorèmes fondamentaux des fonctions continues
12 Fonctions continues strictement monotones
Objectifs
Limites
Notions et calculs de limites
Définition quantifiée d’une limite
Savoir écrire une définition quantifiée d’une limite.
Définir · Limite finie d’une fonction
Limites usuelles, taux d’accroissement et croissances comparées
Connaître les limites usuelles, les limites liées au taux d’accroissement, les croissances comparées.
Connaître · Limites usuelles, Taux d’accroissement d’une fonction, Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles
Limites d’opérations sur des fonctions
Savoir calculer la limite d’une somme, d’un produit, d’un inverse, d’un quotient, d’une composée.
Calculer · Somme de limites, Produit, inverse et quotient, Composition de limites
Indéterminations classiques
Savoir lever les indéterminations classiques : polynômes, fractions rationnelles, fonctions avec des radicaux, formes \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\frac{0}{0}\).
Appliquer · Lever une forme indéterminée
Comportement asymptotique d’une fonction
Savoir déterminer le comportement asymptotique d’une fonction, limites et asymptotes éventuelles.
Déterminer · Limites de fonctions
Théorèmes d’existence de limite
Savoir appliquer les théorèmes d’existence de limite : théorème d’encadrement, théorème de comparaison, théorème de la limite monotone.
Appliquer · Encadrement des limites, Comparaison de limites, Théorème de la limite monotone
Passage à la limite dans une inégalité
Savoir passer à la limite dans une inégalité si chaque membre de celle-ci admet une limite.
Appliquer · Passage d’une inégalité stricte à la limite
Continuité
Continuité et théorèmes fondamentaux
Continuité en un point
Savoir montrer qu’une fonction est continue, continue à droite, continue à gauche, en un point.
Appliquer · Définitions
Prolongement par continuité en un point
Savoir montrer qu’une fonction se prolonge par continuité en un point.
Appliquer · Prolongement par continuité
Interprétation d’une limite par continuité
Savoir interpréter une limite d’une fonction en un réel \(a\) à l’aide des deux notions précédentes quand cela est évidemment le cas.
étudier · Continuité en un point, Prolongement par continuité
Intervalle de continuité par opérations
Savoir déterminer l’intervalle sur lequel la fonction est continue par somme, par produit, par composée …
Déterminer · Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle, Composition de fonctions continues sur un intervalle
Continuité sur un intervalle par opérations
Savoir montrer qu’une fonction est continue sur un intervalle par somme, par produit, par composée …
Appliquer · Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle, Composition de fonctions continues sur un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires
Connaître le théorème des valeurs intermédiaires et savoir l’utiliser pour déterminer l’existence d’une solution d’une équation de la forme \(f(x)=a\), \(a\) étant un réel fixé.
Connaître, appliquer · Valeurs intermédiaires
Algorithme d’approximation d’un zéro
Savoir écrire un algorithme qui approxime un zéro d’une fonction continue.
Exprimer · Exemple résolu
Propriétés d’une fonction continue sur un segment
Connaître les propriétés d’une fonction continue sur un segment.
Connaître · Bornes atteintes sur un segment
Image d’un intervalle par une fonction continue
Savoir déterminer \(f(I)\), l’image d’un intervalle \(I\) par \(f\), une fonction continue.
Déterminer · Valeurs intermédiaires, Bornes atteintes sur un segment
Fonction continue strictement monotone
Bijection et fonction réciproque
Bijection et fonction réciproque
Connaître la définition d’une bijection, d’une bijection réciproque et leurs traductions mathématiques.
Connaître · Bijection d’un intervalle sur son image, Fonction réciproque d’une bijection
Théorème de la bijection
Connaître le théorème dit « de la bijection ».
Connaître · Bijection d’une fonction continue strictement monotone
Propriétés d’une fonction réciproque
Déterminer les propriétés d’une fonction réciproque : ensemble de définition, ensemble de continuité, variation, limites, tableau de variation, graphe …
Déterminer · Fonction réciproque d’une bijection, Fonction continue strictement monotone