Module

Limites à gauche et à droite

Domaine: Analyse
Prérequis: Limites de fonctions
Notations: Ensemble des réels achevés, Intervalle de définition, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Limites à gauche et à droite

Définition Limite à droite

Soit \(a\) un réel et \(f\) une fonction de \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\), définie au voisinage de \(a\). La fonction \(f\) admet \(l\in \overline{\mathbb{R}}\) pour limite à droite en \(a\) si la restriction de \(f\) à \(I\)\(\cap]a,+\infty[\) admet \(l\) pour limite en \(a\).

Notation Notations d’une limite à droite

\[\lim_{a^+}f=l\qquad\text{ou}\qquad\lim_{\substack{x\to a\\x>a}}f(x)=l\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{\substack{x\to a\\x>a}}{\longrightarrow}l\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a^+}{\longrightarrow}l\]

Définition Limite à gauche

Soit \(a\) un réel et \(f\) une fonction de \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\), définie au voisinage de \(a\). La fonction \(f\) admet \(l\in \overline{\mathbb{R}}\) pour limite à gauche en \(a\) si la restriction de \(f\) à \(I\)\(\cap]-\infty,a[\) admet \(l\) pour limite en \(a\).

Notation Notations d’une limite à gauche

\[\lim_{a^-}f=l\qquad\text{ou}\qquad\lim_{\substack{x\to a\\x<a}}f(x)=l\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{\substack{x\to a\\x<a}}{\longrightarrow}l\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a^-}{\longrightarrow}l\]

Exemple résolu Limites latérales de la partie entière réservé aux comptes

Remarque Unicité des limites latérales

Si \(l\) existe, alors \(l\) est unique.

Propriété Lien entre limite et limites latérales

Soit \(a\) un réel et \(f\) une fonction de \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\), définie au voisinage de \(a\).

Si \(a\notin I\), \(f\) admet une limite \(l\in \overline{\mathbb{R}}\) en \(a\) si et seulement si elle admet \(l\) pour limite à droite et à gauche en \(a\).

\[\lim_{a}f=l\Longleftrightarrow\left(\lim_{a^-}f=\lim_{a^+}f=l\right)\]

Si \(a\in I\), \(f\) admet une limite \(l\in\mathbb{R}\) en \(a\) si et seulement si elle admet \(l\) pour limite à droite et à gauche en \(a\) avec \(\lim_{a^-}f=\lim_{a^+}f=f(a)=l\).

\[\lim_{a}f=l\Longleftrightarrow\left(\lim_{a^-}f=\lim_{a^+}f=f(a)=l\right)\]

Exemple résolu Existence de limites latérales réservé aux comptes