Module

Fonctions continues strictement monotones

Domaine: Analyse
Prérequis: Théorèmes fondamentaux des fonctions continues
Notations: Intervalle de définition, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Bijection de \(I\) sur l’image de \(f\)

Définition Bijection d’un intervalle sur son image

Soit \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\).

On dit que \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) si tout élément de \(f(I)\) admet un et un seul antécédent par \(f\) dans \(I\).

Autrement dit, \(f\) est bijective de \(I\) sur \(f(I)\) si, pour tout \(y\) de \(f(I)\), l’équation \(f(x)=y\) possède une seule solution dans \(I\).

Exemple résolu Bijections et non-bijection sur les réels réservé aux comptes

Définition Fonction réciproque d’une bijection

Soit \(f\) une bijection de \(I\) sur \(f(I)\).

Alors tout \(y\) de \(f(I)\) admet un antécédent unique \(x\) de \(I\).

Par définition, la bijection réciproque \(f^{-1}\) associe à \(y\) son unique antécédent \(x\).

Exemple résolu Bijection réciproque de la fonction carrée sur les positifs réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Existence et unicité d’un antécédent

Soit \(f\) une bijection de \(I\) sur \(f(I)\). On a :

\[\forall y\in f(I),\quad\exists!\,x\in I,\quad y=f(x)\]

Remarque Caractérisation de la fonction réciproque

\[\forall x\in I,\quad\forall y\in f(I),\quad y=f(x)\Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)\]

Remarque Injectivité d’une bijection

\[\forall(a,b)\in I^2,\quad f(a)=f(b)\Longleftrightarrow a=b\]

Remarque Compositions avec la fonction réciproque

\[\forall x\in f(I),\quad f\left(f^{-1}(x)\right)=x\qquad\text{et}\qquad\forall x\in I,\quad f^{-1}(f(x))=x\]

Remarque Symétrie des représentations graphiques

Dans un repère orthonormal, les représentations graphiques de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=x\), première bissectrice du repère.

Fonction continue strictement monotone

Théorème Bijection d’une fonction continue strictement monotone

Théorème admis.

Si \(f\) est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\).

De plus, sa fonction réciproque \(f^{-1}\) est une bijection continue, strictement monotone de \(f(I)\) sur \(I\), et de même monotonie que \(f\).

Exemple résolu Logarithme népérien réciproque de l’exponentielle réservé aux comptes

Exemple résolu Bijection de la fonction cosinus réservé aux comptes

Exemple résolu Bijection d’une fonction puissance réservé aux comptes

Exemple résolu Algorithme d’approximation d’une solution réservé aux comptes

Exemple résolu Approximation d’une solution de \(x=\cos x\) réservé aux comptes